Natürliche Einheiten

Als Natürliche Einheiten in der Physik werden Systeme von Maßeinheiten bezeichnet, die durch die Werte von Naturkonstanten gegeben sind. Durch Verwendung solcher Einheiten vereinfachen sich oft physikalische Formeln. Betrachtet man die betreffenden Naturkonstanten außerdem als „dimensionslos“, also als reine Zahlen, vereinfacht dies die Formeln weiter. Wenn beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit c gleich der Zahl 1 gesetzt wird, vereinfacht sich die bekannte Masse-Energie-Äquivalenz E = mc² zu E = m, außerdem haben dann Energie, Impuls und Masse dieselbe Dimension.

Hiervon zu unterscheiden ist die Definition von Maßeinheiten mit Hilfe von Naturkonstanten. Im Internationalen Einheitensystem SI werden seit 1983 die Lichtgeschwindigkeit und seit der Revision von 2019 weitere fundamentale Naturkonstanten zur Definition von Einheiten verwendet. Diese Naturkonstanten behalten dabei ihre bisherige Dimension und werden nicht zu natürlichen Einheiten.

Grundlagen für natürliche Einheiten

Natürliche Einheiten sollen sich zur besonders einfachen Beschreibung von Naturvorgängen eignen. So ist z. B. die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ die Obergrenze für die Geschwindigkeit, mit der sich physikalische Wirkungen ausbreiten können, und $c^{2}$ ist der Umrechnungsfaktor zwischen Masse und Ruheenergie eines Teilchens. Die Elementarladung $e$ (abgesehen von einem Faktor ⅓ für die Quarks) und das Reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ (abgesehen von einem Faktor ½ für den Spin) – sind die kleinsten möglichen von Null verschiedenen Werte für elektrische Ladung bzw. Drehimpuls.

Als Grundlage können daher dienen:

• die Elementarladung: $e$ für die elektrische Ladung
• die Vakuumlichtgeschwindigkeit: $c$ für die Geschwindigkeit
• das Reduzierte Plancksches Wirkungsquantum: $\hbar$ für den Drehimpuls
• die Gravitationskonstante: $G$
• die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }$
• die elektrische Feldkonstante: $\varepsilon _{0}$ oder die direkt hiervon abhängige Coulomb-Konstante $k_{\mathrm {C} }$

sowie Eigenschaften wichtiger Teilchen wie:

• die Elektronenmasse: $m_{\mathrm {e} }$
• die Protonenmasse: $m_{\mathrm {p} }$
• die Neutronenmasse: $m_{\mathrm {n} }$

Da mehr Naturkonstanten zur Verfügung stehen, als das übliche Einheitensystem Dimensionen hat, können verschiedene natürliche Einheitensysteme gebildet werden. Welche dieser Grundlagen gewählt werden, hängt vom jeweiligen Teilgebiet der Physik ab.

Vorteile und Nachteile

Die betreffenden Naturkonstanten haben, wenn sie in den entsprechenden natürlichen Einheiten angegeben werden, sämtlich den Zahlenwert 1. Daher treten die Konstanten gar nicht in Erscheinung, wenn in konkreten Berechnungen Zahlenwertgleichungen benutzt werden.

Meist werden die Konstanten zusätzlich als dimensionslos angesetzt, so dass alle Formeln zu Zahlenwertgleichungen werden und erheblich einfacher aussehen. Diesem formalen Vorteil steht der Nachteil gegenüber, dass man auch die Ergebnisse aller Berechnungen zunächst als reine Zahlen erhält. Die richtigen Dimensionen und Einheiten ergeben sich erst durch anschließendes Umrechnen in ein „gewöhnliches“ Einheitensystem. Eine Dimensionsbetrachtung beider Gleichungsseiten zur Fehlerkontrolle ist bei Gleichungen in einem solchen natürlichen Einheitensystem nicht möglich. Auch weichen die Größenordnungen der natürlichen Einheiten meist weit von den im Alltag und in der Technik üblichen ab; deshalb ist die allgemeine Verwendung eines natürlichen Einheitensystems anstelle z. B. des Internationalen Einheitensystems (SI) nie ernsthaft erwogen worden.

Natürliche Einheitensysteme

Übersicht über natürliche Einheitensysteme und deren Grundlagen

	Planck-Einheiten	Stoney-Einheiten	Teilchen­physik	Atomare Einheiten	Relativitäts­theorie	Quanten­chromodynamik
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c$	$1$	$1$	$1$	—	$1$	$1$
Elementarladung $e$	—	$1$	—	$1$	—	—
Elektrische Feldkonstante $\varepsilon _{0}$	${\frac {1}{4\pi }}$	${\frac {1}{4\pi }}$	$1$	${\frac {1}{4\pi }}$	$\left({\frac {1}{4\pi }}\right)$	—
Coulomb-Konstante $k_{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$	$1$	$1$	${\frac {1}{4\pi }}$	$1$	$\left(1\right)$	—
Gravitationskonstante $G$	$1$	$1$	—	—	$1$	—
Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$	$1$	—	$1$	—	—	$1$
Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$	$1$	—	$1$	$1$	—	$1$
Elektronenmasse $m_{\mathrm {e} }$	—	—	—	$1$	—	—
Protonenmasse $m_{\mathrm {p} }$	—	—	—	—	—	$1$

Planck-Einheiten

→ Hauptartikel: Planck-Einheiten

Die konsequenteste Umsetzung der natürlichen Einheiten findet sich bei den 1899 von Max Planck vorgeschlagenen Planck-Einheiten. In diesem Einheitensystem werden gesetzt:

• die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
• das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$ (damit ist $h=2\pi$)
• die Newtonsche Gravitationskonstante: $G=1$
• die Boltzmann-Konstante: $k_{\mathrm {B} }=1$
• die Coulomb-Konstante: $k_{\mathrm {C} }=1$ (damit ist $\varepsilon _{0}=(4\pi k_{\mathrm {C} })^{-1}=(4\pi )^{-1}$).

Dieses Einheitensystem gilt deshalb als fundamental, weil die zugrundegelegten Naturkonstanten die allgemeinsten Zusammenhänge von Raum und Zeit betreffen und für alle Arten von Teilchen und Wechselwirkungen gelten. (Die Konstante $k_{\mathrm {B} }$ wird hier nur für die Anpassung der Temperaturskala an die Energieskala benötigt.)

Mithilfe der Naturgesetze, die die o. g. Konstanten definieren, lassen sich die Planck-Einheiten auch durch folgende Beziehungen einführen:

• Während der Zeiteinheit legt Licht im Vakuum eine Längeneinheit zurück. (Naturgesetz: $r=c\cdot t$)
• Die Energieeinheit ist die Quantenenergie einer Schwingung, deren Periode gleich einer Zeiteinheit ist. (Naturgesetz: $E=h/t$)
• Die Einheitsmasse ist die Masse, die einer Energieeinheit äquivalent ist. (Naturgesetz: $E=m\cdot c^{2}$)
• Die Längeneinheit ist derjenige Abstand zweier Körper von je einer Masseneinheit, in dem ihre Gravitationsenergie die Größe einer Energieeinheit hat. (Naturgesetz: $E=G\cdot m^{2}/r$)

Stoney-Einheiten

Das erste natürliche Einheitensystem wurde 1874 von George Johnstone Stoney vorgeschlagen, nachdem er mit dem Konzept einheitlicher Ladungsträger in den Atomen die letzte dazu nötige Naturkonstante gefunden hatte. In Stoneys Einheitensystem werden gleich 1 gesetzt:

• die Elementarladung: $e=1$
• die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
• die Newtonsche Gravitationskonstante: $G=1$

Zur Definition der Ladung benutzte Stoney das elektrostatische cgs-System, so dass auch die Coulomb-Konstante ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1$ ist. Nach Stoney sind die natürlichen Einheiten für Länge, Masse und Zeit daher um den Faktor ${\sqrt {\alpha }}\approx 0{,}085$ kleiner als nach Planck ($\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \hbar c}}\approx {\frac {1}{137}}$ ist die Feinstrukturkonstante).

Die Stoney-Einheiten werden heute praktisch nicht mehr benutzt, sind aber von historischem Interesse.

Teilchenphysik

Einige Teilchenphysik-Einheiten in SI-Einheiten

Größe	Einheit		Wert in SI-Einheiten
	geschrieben	tatsächlich
Energie	$1\,\mathrm {eV}$		1.602e-19 J
Länge	${\frac {1}{1\,\mathrm {eV} }}$	${\frac {c\hbar }{1\,\mathrm {eV} }}$	1.973e-7 m
Zeit	${\frac {1}{1\,\mathrm {eV} }}$	${\frac {\hbar }{1\,\mathrm {eV} }}$	6.582e-16 s
Masse	$1\,\mathrm {eV}$	${\frac {1\,\mathrm {eV} }{c^{2}}}$	1.783e-36 kg
Dichte	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\,\mathrm{eV}^4}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1\,\mathrm{eV}^4}{c^5\hbar^3}}	2.320e-16 kg/m3
Impuls	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\,\mathrm{eV}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1\,\mathrm{eV}}{c}}	5.344e-28 N·s
Ladung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\varepsilon_0 \hbar c}}	5.29e-19 C
Spannung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\,\mathrm{eV}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1\,\mathrm{eV}}{e}}	1 V
Temperatur	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\,\mathrm{eV}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1\,\mathrm{eV}}{k_\mathrm{B}}}	1.160e4 K

In der Teilchenphysik (Hochenergiephysik) spielt die Gravitation nur eine untergeordnete Rolle. Daher wird hier die Gravitationskonstante im SI-System belassen. Gleich 1 gesetzt werden lediglich:

• die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
• das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$
• die Boltzmann-Konstante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm{B} = 1}
• die Elektrische Feldkonstante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_0 = 1 }

Die Einheit der Energie wird dadurch nicht festgelegt; üblicherweise wird hierfür die Einheit Elektronvolt verwendet. Alle anderen Einheiten lassen sich dann durch Potenzen dieser Energieeinheit ausdrücken (vgl. Tabelle). So ist das Elektronvolt zugleich die Einheit der Masse; dadurch wird die Äquivalenz von Masse und Energie besonders deutlich. Zeit und Raum bekommen entsprechend dem Konzept der Raumzeit dieselbe Dimension und die Einheit 1/eV. Zu beachten ist, dass das Elektron mit der Feinstrukturkonstante α eine dimensionslose Ladung erhält:

$e_{HEP}={\frac {e}{\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}={\sqrt {4\pi \alpha }}=0,30282212$

Atomare Einheiten

→ Hauptartikel: Atomare Einheiten

In der Atomphysik ist das System der Atomaren Einheiten gebräuchlich. Hier werden auf 1 gesetzt:

• die Elektronenmasse: $m_{\mathrm {e} }=1$
• die Elementarladung: $e=1$
• das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum: $\hbar =1$
• die Coulomb-Konstante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/(4 \pi \varepsilon_0) = 1}

Relativitätstheorie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden gleich 1 gesetzt:

• die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
• die Gravitationskonstante: $G=1$

und in Situationen mit einer dominanten Masse auch oft

• die zentrale Masse: $M=1$
• die Coulomb-Konstante: $k_{\mathrm {C} }=1$

Quantenchromodynamik

In der Quantenchromodynamik ist das Proton von zentralem Interesse. Hier werden auf 1 gesetzt:

• die Lichtgeschwindigkeit: $c=1$
• die Protonenmasse: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_\mathrm p = 1}
• das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar = 1}
• die Boltzmann-Konstante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm{B} = 1}

Sonstige Vorschläge

Mit CODATA-2014 wurden vorgeschlagen

• eine Liste mit sieben natürlichen Einheiten (n.u.), die teils ungewöhnliche natürliche Größen verwenden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar/(m_\mathrm ec)} für die Länge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar/(m_\mathrm ec^2)} für die Zeit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_\mathrm e} für die Masse (Ladung und Temperatur sind nicht aufgeführt),
• und eine Liste mit 23 atomaren Einheiten (a.u.), ebenfalls mit teils ungewöhnlichen natürlichen Größen: Bohrscher Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0} für die Länge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar/E_\mathrm h} für die Zeit (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm h} ist die Hartree-Energie), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_\mathrm e} für die Masse, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} für die Ladung (die Temperatur wird nicht aufgeführt).

Literatur

• Helmut Hilscher: Elementare Teilchenphysik. Vieweg, 1996, ISBN 3-322-85004-8, S. 6–7.
• Peter Pohling: Durchs Universum mit Naturkonstanten. Verlag Books on Demand, Norderstedt 2013, ISBN 978-3-7322-6236-6.
• Michael Ruhrländer: Aufstieg zu den Einsteingleichungen. Einführung in die quantitative Allgemeine Relativitätstheorie. Pro Business, Berlin 2014, ISBN 978-3-86386-779-9, S. 578.