Retraktion und Koretraktion

In der Kategorientheorie versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} gibt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \circ g = \operatorname{id}} . Der duale Begriff einer Retraktion ist der der Koretraktion (oder Schnitt), das heißt ein Morphismus, der ein Linksinverses besitzt. Das Rechtsinverse einer Retraktion ist eine Koretraktion und umgekehrt.

Ein Objekt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt Retrakt eines Objekts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y\in \mathcal{C}} , wenn es in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} einen Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X\to Y} und eine Retraktion $r\colon Y\to X$ zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , also einen Morphismus $r$ mit $r\circ f=\operatorname {id} _{X}$, gibt.

Jede Retraktion ist ein extremer und sogar regulärer Epimorphismus. Ebenso ist jede Koretraktion extremer und sogar regulärer Monomorphismus und sogar Differenzkern.

Spezielle Kategorien

Topologische Räume

Der Begriff der Retraktion findet Anwendung in der algebraischen Topologie. In der Kategorie $\mathbf {Top}$ der topologischen Räume sind alle extremen Monomorphismen und damit auch alle Koretraktionen topologische Einbettungen. Dies ermöglicht im Falle topologischer Räume eine andere Sichtweise und Definition: Eine Retraktion ist ein stetiges Linksinverses einer topologischen Einbettung. Oder konkret formuliert: Eine Retraktion ist eine stetige Abbildung von einem topologischen Raum in sich selbst, sodass jedes Element der Bildmenge Fixpunkt ist.

Dies erlaubt auch eine konkrete Definition des Retrakts: Ein Teilraum $A$ eines topologischen Raums $X$ heißt Retrakt von $X$, wenn es eine Retraktion $r$ zur Einbettung $i\colon A\to X$ gibt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist genau dann Retrakt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , wenn jede stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A\to Y} stetig zu einer Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon X\to Y} fortgesetzt werden kann:

• Gibt es eine Retraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon X\to A} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g := f \circ r} stetige Fortsetzung.
• Eine Fortsetzung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{id}_A} zu einer stetigen Abbildung $r\colon X\to A$ ist eine Retraktion.

In einem Hausdorffraum ist jedes Retrakt abgeschlossen: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset X} Retrakt mit Retraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon X\to A} . Betrachte nun ein konvergentes Netz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_i\to a} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Das Bildnetz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(N_i)} konvergiert gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(a)} (da $r$ stetig) und ist gleich dem ursprünglichen Netz. Da der Grenzwert eines Netzes in Hausdorffräumen eindeutig ist, gilt somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(a)=a\in A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist abgeschlossen. In Nicht-Hausdorffräumen gilt dies nicht: In Nicht-T₁-Räumen existieren nicht-abgeschlossene einelementige Mengen, die aber offensichtlich Retrakte sind. Als Beispiel für einen T₁-Raum mit nicht-abgeschlossenem Retrakt betrachte die kofinite Topologie auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon \N\to\N\setminus\{0\}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(0)=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(n)=n} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\neq 0} ist eine Retraktion, das Bild ist jedoch nicht abgeschlossen.

Deformationsretrakt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} heißt Deformationsretrakt von $X$, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\circ r} homotop zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{id}_X} relativ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle Homotopieäquivalenzen, die diese Äquivalenzrelation erzeugen.

Beispiele

Elementares Beispiel

Die folgende Abbildung ist ein anschauliches Beispiel für eine Retraktion in den reellen Zahlen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \R \to [0,1], x \mapsto \begin{cases} 0 & \mbox{für } x<0 \\ x & \mbox{für } 0\leq x \leq 1 \\ 1 & \mbox{für } x>1 \end{cases}}

Fixpunktsatz von Brouwer im eindimensionalen Fall

Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt, dass jede stetige Abbildung einer Vollkugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Eine eindimensionale Vollkugel entspricht topologisch gesehen gerade einem abgeschlossenen Intervall, etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[-1,1\right]} . Gäbe es nun eine stetige, fixpunktfreie Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \left[-1, 1\right] \to \left[-1,1\right]} , so ergäbe sich dadurch eine Retraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \left[-1, 1\right] \to \{-1, 1\}} mittels $g(x)=\operatorname {sgn}(x-f(x))=\textstyle {\frac {x-f(x)}{\left|x-f(x)\right|}}$ (da der Nenner nie verschwinden würde), d. h. $\left\{-1,1\right\}$ müsste Retrakt von $\left[-1,1\right]$ sein. Eine solche Retraktion kann aber nicht existieren, da Zusammenhang unter stetigen Abbildungen erhalten ist.

Abgeschlossene Teilräume des Baire-Raums

→ Hauptartikel: Baire-Raum (speziell)

Im Baire-Raum ${\mathcal {N}}$ gilt: Für jedwede abgeschlossene Teilräume (dies sind stets polnische Teilräume) $X\subset Y\subset {\mathcal {N}}$ ist $X$ Retrakt von $Y$. Man beachte, dass der Baire-Raum total unzusammenhängend ist, und daher der Zusammenhangsbegriff keinerlei Einschränkungen für Retrakte liefert.

Pfeilkategorie

Sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie, die zugehörige Pfeilkategorie ist dann die Kategorie der Funktoren von der Kategorie mit zwei Objekten und drei Morphismen in die Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}} . Diese werden Pfeile genannt und können mit den Morphismen in ${\mathcal {C}}$ identifiziert werden. Ein Pfeil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist Retrakt eines Pfeils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , wenn es eine natürliche Transformation (d. h. ein kommutierendes Quadrat) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta\colon f\to g} und eine Retraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\colon g\to f} gibt, also das folgende Diagramm kommutiert:

Mengenlehre

In der Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Set}} aller Mengen und den Funktionen zwischen ihnen ist ein Morphismus (das heißt eine Funktion zwischen zwei Mengen) genau dann eine Retraktion, wenn er surjektiv ist. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre. Entsprechend ist ein Morphismus genau dann eine Koretraktion, wenn er injektiv ist und es einen Morphismus in der Gegenrichtung gibt. Diese Aussage benötigt jedoch nicht das Auswahlaxiom. Aus diesen Aussagen folgt, dass in jeder konkreten Kategorie die Retraktionen surjektiv und die Koretraktionen injektiv sein müssen, was für allgemeine Epi- bzw. Monomorphismen, welche in der Kategorie der Mengen mit den Retraktionen bzw. Koretraktionen übereinstimmen, im Allgemeinen nicht gilt.