Total unzusammenhängender Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Total unzusammenhängend)

Total unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen und die leere Menge zusammenhängend. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cantor-Menge. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf.

Definition

Ein topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Beispiele

  • Diskrete Räume, nulldimensionale Räume, total separierte Räume sowie extremal unzusammenhängende Räume sind total unzusammenhängend.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} mit der Teilraumtopologie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ist total unzusammenhängend. Ist nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\subset \Q} eine Teilmenge mit mindestens zwei Elementen, so gibt es zwischen diesen eine irrationale Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} . Der Teilraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist dann die Vereinigung der beiden relativ offenen Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{x\in X; x<a\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{x\in X; x>a\}} und daher nicht zusammenhängend.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\setminus \Q} mit der Teilraumtopologie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ist total unzusammenhängend.
  • Die Cantor-Menge ist ein total unzusammenhängender kompakter Hausdorffraum.
  • Der Baire-Raum.
  • Die Sorgenfrey-Gerade und die Sorgenfrey-Ebene sind total unzusammenhängend.
  • Proendliche Gruppen sind gerade die total unzusammenhängenden kompakten topologischen Gruppen.

Eigenschaften

  • Unterräume und Produkte total unzusammenhängender Räume sind wieder total unzusammenhängend.[1]
  • Jede stetige Abbildung von einem zusammenhängenden Raum in einen total unzusammenhängenden Raum ist konstant, denn das Bild ist wieder zusammenhängend und daher einelementig.

Anwendungen

Boolesche Algebren

Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder Booleschen Algebra einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorrfraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist.[2] Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch Boolesche Räume.

C*-Algebren

Jede kommutative C*-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\rightarrow \Complex} für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_A} . Es gilt[3]:

  • Eine kommutative, separable C*-Algebra ist genau dann AF-C*-Algebra, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_A} total unzusammenhängend ist.

p-adische Zahlen

Die ganzen p-adischen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z_p} zu einer Primzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} sind bekanntlich als Reihen der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{i=0}^\infty a_ip^i} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i \in\{0,\ldots,p-1\}} darstellbar. Damit kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z_p} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0,\ldots,p-1\}^{\N_0}} identifizieren, was Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z_p} zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \Q_p = \bigcup_{n=0}^\infty p^{-n}\Z_p} ein σ-kompakter, lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum.

Einzelnachweise

  1. ↑ Philip J. Higgins: An Introduction to Topological Groups (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 15). Cambridge University Press, London u. a. 1974 (recte 1975), ISBN 0-521-20527-1, Kapitel II.7, Satz 9.
  2. ↑ Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra. Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 18, Theorem 6, Theorem 7.
  3. ↑ Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.2.5.
Abgerufen von „https://de.wikiup.org/index.php?title=Total_unzusammenhängender_Raum&oldid=184064519“