Extremal unzusammenhängender Raum
Extremal unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie (Mathematik) untersucht. Wie schon der Name andeutet, sind diese Räume sehr weit von Zusammenhangseigenschaften entfernt. Sie treten in der Theorie der booleschen Algebren und der abelschen Von-Neumann-Algebren auf.
Definition
Ein topologischer Raum hat dann schlechte Zusammenhangseigenschaften, wenn es in ihm viele offen-abgeschlossene Teilmengen gibt. Fordert man in einem T1-Raum, dass jede abgeschlossene Menge bereits offen ist, so ist der Raum diskret. Eine leicht abgeschwächte Forderung führt zum hier betrachteten Begriff:
Ein topologischer Raum heißt extremal unzusammenhängend, wenn der Abschluss jeder offenen Menge wieder offen ist.
Beispiele
- Diskrete Räume sind extremal unzusammenhängend. In metrischen Räumen gilt die Umkehrung, das heißt, extremal unzusammenhängende, metrisierbare Räume sind diskret.
- Die Stone-Čech-Kompaktifizierung der natürlichen Zahlen ist ein nicht-diskreter, extremal unzusammenhängender Raum.
Eigenschaften
- Extremal unzusammenhängende Räume sind total unzusammenhängend. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa das Beispiel der Cantor-Menge zeigt.
- Extremal unzusammenhängende Hausdorffräume sind sogar total separiert, auch hier gilt die Umkehrung nicht.
- Zu jeder Borelmenge eines extremal unzusammenhängenden kompakten Hausdorffraumes gibt es eine eindeutige offen-abgeschlossene Menge , so dass die symmetrische Differenz eine magere Menge ist.[1]
- Ist eine offene und dichte Teilmenge eines extremal unzusammenhängenden kompakten Hausdorffraumes und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon U\rightarrow \Complex} eine stetige und beschränkte Funktion, so gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{f}\colon X\rightarrow \Complex} , die fortsetzt.[2]
Anwendungen
Boolesche Algebren
Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder booleschen Algebra einen total unzusammenhängenden Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , den sogenannten booleschen Raum zur Algebra, so dass die Algebra isomorph zur Mengen-Algebra der offen-abgeschlossenen Mengen in ist. Es gilt[3]:
- Eine boolesche Algebra ist genau dann vollständig (das heiß, jede beschränkte Menge besitzt ein Supremum und ein Infimum), wenn der zugehörige boolesche Raum extremal unzusammenhängend ist.
Abelsche Von-Neumann-Algebren
Abelsche Von-Neumann-Algebren sind als C*-Algebra nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(X)} der stetigen Funktionen für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten kompakten Hausdorffraum . Für abelsche Von-Neumann-Algebren ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} extremal unzusammenhängend.[4]
Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , so dass die Algebra nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.[5]
Einzelnachweise
- ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.10.
- ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.11.
- ↑ Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra. Reprinted edition. Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 21, Theorem 10.
- ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.1.
- ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.7.21.
