Robbins-Konstante

Die Robbins-Konstante, benannt nach David P. Robbins, ist eine geometrische Konstante, die den erwarteten euklidischen Abstand zweier Punkte des dreidimensionalen Einheitswürfels $[0,1]^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}$ angibt, die zufällig, unabhängig und gleichverteilt gezogen werden. Die Konstante hat dabei den folgenden Wert:

${\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.$

Ihre Dezimalentwicklung beginnt mit (Folge A073012 in OEIS):

$0{,}66170718226717623515583\ldots$

Erläuterung

Der graue Bereich besteht aus den Punkten $(x_{1},x_{2})$ mit $(x_{1}-x_{2})^{2}\leq t$, dessen Fläche $F(t)$ ist.

Es soll kurz angedeutet werden, warum es hier zu einem derart komplizierten Ausdruck kommt. Letztlich geht es um das Integral

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\mathrm {d} z_{1}\mathrm {d} z_{2}$,

dessen Berechnung mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze wie folgt durchgeführt werden kann. Sind $(X_{1},Y_{1},Z_{1})$ und $(X_{2},Y_{2},Z_{2})$ die zufällig gezogenen Punkte, so muss zur Ermittlung des gesuchten erwarteten Abstandes die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\sqrt {(X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}}}$ ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $F(t):=P(\{(X_{1}-X_{2})^{2}\leq t\})$ hat die Form $F(t)=1-(1-{\sqrt {t}})^{2},\quad t\in [0,1]$, wie an nebenstehender Skizze abgelesen werden kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man durch Ableiten: $f(t)={\tfrac {\mathrm {d} F(t)}{\mathrm {d} t}}={\tfrac {1}{\sqrt {t}}}-1$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe $(X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}$ ist dann die Faltung $f*f*f$, wobei komplizierte Integrale entstehen. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung $G(t)=\int _{0}^{t}(f*f*f)(s)\mathrm {d} s$ beschreibt die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen, aber wir benötigen die Wurzel aus dieser Summe. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher $H(t)=G(t^{2})$ mit zugehöriger Dichte $h(t):={\tfrac {\mathrm {d} G(t^{2})}{\mathrm {d} t}}=2t\cdot (f*f*f)(t^{2})$. Das Integral $\int th(t)\mathrm {d} t$ ist schließlich der gesuchte Erwartungswert. Die aufwändigen Rechnungen sind in der unten angegebenen Arbeit mit Maple-Unterstützung ausgeführt, wobei statt des Einheitswürfels der noch kompliziertere Fall eines Quaders behandelt ist.