Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe $\mathrm {SU} (n)$ besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension $n^{2}-1,$ insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe $\mathrm {U} (n)$ sowie der speziellen linearen Gruppe $\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$.

Lie-Algebra

Die zu $\mathrm {SU} (n)$ korrespondierende Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(n)$ entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f\colon {\mathfrak {su}}(n)\to \mathrm {SU} (n),\quad \quad g\mapsto \exp {g}$

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von $\mathrm {SU} (n)$ besteht aus allen Vielfachen $\xi E_{n}$ der Einheitsmatrix $E_{n}$, die in $\mathrm {SU} (n)$ liegen. Da $\det(\xi E_{n})=\xi ^{n}=1$, müssen diese Vielfachen $n$-te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere $\mathrm {SU} (n)$-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, nämlich Farbe, Flavour und elektrische Ladung). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige $\mathrm {SU} (3)$-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu $\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)$.

Die Gruppe $\mathrm {SU} (2)$ ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe $\mathrm {SO} (3)$ im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3)

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes $\mathbb {C} ^{2}$, mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen $\sigma _{i}$ erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes $\mathbb {R} ^{3}$, die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit $\mathrm {i}$:

$\mathrm {SU} (2)=\left\{\left.\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{2}}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right|{\vec {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{3}\right\}$ mit reellen Vektorkomponenten $\,\alpha _{1},\,\alpha _{2}$ und $\,\alpha _{3}$, den „Drehwinkeln“  ($\,\alpha _{3}$ durchläuft beispielsweise das Intervall $[-2\pi ,+2\pi ]$), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor ${\vec {\sigma }}$  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!) Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\sigma }}=\alpha _{1}\sigma _{1}+\alpha _{2}\sigma _{2}+\alpha _{3}\sigma _{3}\,.$ Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um $2\pi (=360^{\circ })$, sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man ${\vec {\sigma }}/2$ durch den Ortsdrehimpuls-Operator ${\vec {\mathcal {L}}}$ ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. ${\mathcal {L}}_{3}={\tfrac {\partial }{\mathrm {i} \,\partial \varphi }}$). Dabei wurde $\hbar$, die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und $\varphi$ ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 ^o aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im $\mathbb {R} ^{4}$, die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4)=SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06432-3.
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42650-7, Chapters 4–6.
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 98). Corrected 2nd printing. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-13678-9.
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N). An Introduction. Birkhäuser, Basel u. a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics. TASI 1987, Scanned version from KEK.
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930). arxiv:math.HO/0409571

Weblinks

• Eric Weisstein: Special Unitary Group. In: MathWorld (englisch).