Boothby-Wang-Faserung

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Boothby-Wang-Faserung eine spezielle Faserung einer Kontaktmannigfaltigkeit. Ein Beispiel ist die Hopf-Faserung $S^{2n-1}\to \mathbb {C} P^{n}$.

Der Satz von Boothby-Wang charakterisiert kompakte reguläre Kontaktmannigfaltigkeiten $(P,\alpha )$: diese sind genau die $S^{1}$-Bündel über symplektischen Mannigfaltigkeiten, deren symplektische Form eine integrale Kohomologieklasse bestimmt.

Satz von Boothby-Wang

Sei $P$ eine kompakte Kontaktmannigfaltigkeit mit Kontaktform $\alpha$. Die Kontaktform heißt regulär, wenn es ein duales, d. h. die Gleichung $\alpha (X)=1$ erfüllendes reguläres Vektorfeld gibt. (Ein Vektorfeld heißt regulär, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, durch die jede Integralkurve des höchstens einmal durchläuft.)

Der Fluss dieses Vektorfeldes definiert eine Äquivalenzrelation auf $P$. Sei $M=P/\sim$ der Quotientenraum. Der Satz von Boothby-Wang besagt dann, dass $\pi \colon P\to M$ ein $S^{1}$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform $\alpha$ ist, eine sogenannte Boothby-Wang-Faserung. Die Krümmungsform des Zusammenhangs ist eine symplektische Form $\omega$ mit ganzzahligen Perioden auf $M$.

Es gibt in diesem Fall eine nullstellenfreie Funktion $\tau \colon P\to \mathbb {R}$, so dass das Reeb-Vektorfeld zu $\alpha ^{\prime }:=\tau \alpha$ die $S^{1}$-Wirkung erzeugt, und es gilt $d\alpha ^{\prime }=\pi ^{*}\omega$.

Boothby-Wang-Konstruktion

Sei $(M,\omega )$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, deren symplektische Form ganzzahlige Perioden hat, also $\left[\omega \right]\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )$. Sei $P\to M$ ein $S^{1}$-Prinzipalbündel mit Chern-Klasse $c_{1}(P)=\left[\omega \right]$. Dann ist $P$ eine Kontaktmannigfaltigkeit, d. h. es gibt eine Kontaktform auf $P$. Das Bündel $S^{1}\to P\to M$ ist dann eine Boothby-Wang-Faserung.

Literatur

• W. M. Boothby, H. C. Wang: On contact manifolds. Ann. Math. (2) 68, 721-734 (1958).