Satz von Dembowski-Wagner

Der Satz von Dembowski-Wagner ist eines der klassischen Theoreme aus dem mathematischen Teilgebiet der Endlichen Geometrie, welches im Übergangsfeld zwischen Kombinatorik und endlicher Geometrie liegt. Der Satz geht auf die beiden Mathematiker Peter Dembowski und Ascher Wagner zurück und formuliert eine Anzahl von Kriterien, nach denen ein symmetrischer Blockplan als projektiver Raum aufgefasst werden kann.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein symmetrischer $2{\text{-}}(v,k,\lambda )$-Blockplan ${\mathcal {D}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},\in )$ mit ${\mathfrak {B}}\subsetneqq {\tbinom {\mathfrak {p}}{k}}$, wobei die Inzidenzrelation mit der Elementrelation identisch sei. Für die Ordnung $n=k-\lambda$ von ${\mathcal {D}}$ seien dabei $n>1$ und $\lambda >1$.

Dann sind gleichwertig:

(B1) ${\mathcal {D}}$ ist einer Inzidenzstruktur isomorph, welche von den Punkten und den Hyperebenen eines endlichen projektiven Raums zusammen mit der Elementrelation als Inzidenzrelation gebildet wird, wobei die ${\mathcal {D}}$-Blöcke und die Hyperebenen einander entsprechen.

(B2) Jede Gerade von ${\mathcal {D}}$ schneidet jeden Block.

(B3) Auf jeder Geraden von ${\mathcal {D}}$ liegen exakt $2+{\frac {n-1}{\lambda }}$ Punkte.

(B4) Je drei nicht kollineare Punkte von ${\mathcal {D}}$ inzidieren stets mit derselben Anzahl von Blöcken.

(B5) Jede Ebene von ${\mathcal {D}}$ ist in genau ${\frac {\lambda (\lambda -1)}{n+\lambda -1}}$ Blöcken enthalten.

Erläuterungen und Anmerkungen

1. In einem projektiven Raum ist eine Hyperebene ein maximaler echter Teilraum. Eine Hyperebene zeichnet sich also dadurch aus, dass sie allein in dem projektiven Raum selbst als Teilraum enthalten, jedoch nicht mit diesem identisch ist und dabei von keinem dritten Teilraum umfasst wird.
2. Eine Gerade $g$ von ${\mathcal {D}}$ ist eine echte Teilmenge von ${\mathfrak {p}}$, welche aus zwei verschiedenen Punkten $P,Q$ von ${\mathcal {D}}$ entsteht. Dazu wird über alle $\lambda$ Blöcke, welche sowohl $P$ als auch $Q$ enthalten, die Schnittmenge gebildet. Man nennt $g$ die Gerade durch $P$ und $Q$ und schreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g = PQ} o. ä. Man sagt dann auch, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} auf der Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegen.
3. Man sagt, eine Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} schneidet einen Block Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \in \mathfrak{B} } , wenn ein mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B } inzidenter Punkt existiert, welcher auf der Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegt; m. a. W. wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \cap B \neq \emptyset} ist.
4. Kollineare Punkte zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf einer (dann notwendigerweise eindeutig bestimmten) Geraden liegen.
5. Jede Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} -Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} entsteht aus drei verschiedenen nicht kollinearen Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P, Q , R } von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} . Solche drei Punkte bilden dann ein Dreieck. Genauso wie bei den Geraden wird für dieses Dreieck die Schnittmenge all derjenigen Blöcke gebildet, welche es enthalten und man erhält die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P, Q, R} aufgespannte Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} . Man schreibt dafür kurz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon = PQR } o. ä.
6. Die oben angegebenen Anzahlen finden sich in der Literatur auch in anderer, aber gleichwertiger Darstellung. Wegen der Parameterbedingungen und der Symmetrieeigenschaft von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} gilt u. a.:
   1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = 2n + \lambda + \frac{ n(n -1)}{\lambda} } .
   2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{v - \lambda}{k - \lambda} = \frac{b - \lambda}{r - \lambda} = 1 + \frac{v - 1}{k} = 2 + \frac{n - 1}{\lambda} } .
   3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\lambda (\lambda -1)}{k - 1} = \frac{\lambda (\lambda -1)}{n + \lambda - 1} = \frac {k (\lambda - 1) }{v - 1} = \frac{\lambda k - r}{v - 1} } .
7. Aus der obigen Darstellung ergibt sich, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } ein Teiler von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n - 1} ist und dass aus Ganzzahligkeitsgründen auf jeder Geraden mindestens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3} verschiedene Punkte liegen.
8. Bei manchen Autoren wird unter dem Satz von Dembowski-Wagner auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = 1 } zugelassen. In dieser Version des Satzes wird die Möglichkeit mit abgedeckt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} einer projektiven Ebene isomorph ist. Die in dieser Version des Satzes genannten Bedingungen sind im Kern die obigen ohne (B5). Jedoch ist der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = 1 } in der Originalarbeit von Dembowski und Wagner ausdrücklich ausgenommen.
9. In der Originalarbeit von Dembowski und Wagner werden noch weitere äquivalente Bedingungen genannt, unter denen ein symmetrischer Blockplan als projektiver Raum aufgefasst werden kann. Diese werden jedoch in der aktuellen Literatur oft gar nicht oder nur am Rande erwähnt. Es handelt sich um Transitivitätsforderungen an die zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} gehörigen Automorphismengruppe, so etwa deren transitive Operation auf die Menge der Dreiecke von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} .
10. Es gibt mehrere Verallgemeinerungen des Satzes von Dembowski-Wagner. In einer davon ist etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} zunächst nur als einfacher Blockplan vorausgesetzt und ohne dabei von vornherein die Symmetrie zu fordern. Die Symmetrie ergibt sich dann zugleich mit den weiteren Bedingungen. Eine weitere Verallgemeinerung wird im Folgenden gebracht.

Verallgemeinerung nach Kantor

In Hinblick auf die oben angesprochene Frage der Einbeziehung der endlichen projektiven Ebenen in den Satz von Dembowski-Wagner ist das im Folgenden aufgeführte Resultat von William Kantor von Interesse, welches diese Frage in den Zusammenhang der Matroidtheorie bringt und den Satz dabei verallgemeinert. Das Resultat von Kantor besagt (kurzgefasst):

Die symmetrischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} -Blockpläne, deren Blöcke sich als Hyperebenen von Matroiden verstehen lassen, fallen mit den endlichen projektiven Geometrien zusammen.

Hier kommt ein verallgemeinerter Hyperebenenbegriff zum Tragen. Man versteht nämlich für ein Matroid Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}} mit zugehörigem Hüllenoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} unter einer Hyperebene eine unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} abgeschlossene echte Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}} , welche bezüglich dieser Eigenschaft maximal ist.

Damit gilt genauer:

Für den symmetrischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\text{-}(v,k,\lambda)} -Blockplan Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},\in)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in \N } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B} \subsetneqq {{\mathfrak{p}} \choose k} (k \geq 3)} sind folgende Bedingungen gleichwertig:

(K1) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B}} stellt die Menge der Hyperebenen eines auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{p}} definierten Matroids dar.

(K2) Entweder ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} ist aufzufassen als eine auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{p}} definierte projektive Ebene der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = k - \lambda} , deren Geradenmenge mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B}} zusammenfällt,

      oder

es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda > 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{D}} ist aufzufassen als ein auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{p}} definierter projektiver Raum, dessen Hyperebenenmenge mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B}} zusammenfällt.

Literatur

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie II. Projektive Räume. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1983, ISBN 3-411-01648-5 (MR0670590). 
• P. J. Cameron, J. H. van Lint: Designs, Graphs, Codes and their Links (= London Mathematical Society Student Texts. Band 22). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1991, ISBN 0-521-42385-6. 
• Peter Dembowski: Finite Geometries (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 44). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1968. 
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• D. J. A. Welsh: Matroid Theory (= L.M.S. Monographs. Band 8). Academic Press, London (u. a.) 1976, ISBN 0-12-744050-X.