Satz von Eilenberg-Zilber

Der Satz von Eilenberg-Zilber, benannt nach S. Eilenberg und J. A. Zilber, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er stellt einer Verbindung zwischen den singulären Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Räume und Homologiegruppen der Räume selbst her.

Tensorprodukte von Kettenkomplexen

Sind $(C',d')$ und $(C'',d'')$ zwei Kettenkomplexe, so sei das Tensorprodukt $(C',d')\otimes (C'',d'')$ der Kettenkomplex $(C,d)$ mit

$C_{n}=\bigoplus _{i+j=n}C_{i}'\otimes C_{j}''$

$d_{n}(c_{i}'\otimes c_{j}''):=d_{i}'c_{i}'\otimes c_{j}''+(-1)^{i}c_{i}'\otimes d_{j}''c_{j}''$, wobei $c_{i}'\in C_{i}',c_{j}''\in C_{j}'',i+j=n$.

Damit ist $d_{n}$ auf Erzeugern erklärt, und die Rechnung

$d_{n-1}d_{n}(c_{i}'\otimes c_{j}'')=d_{n-1}(d_{i}'c_{i}'\otimes c_{j}'')+(-1)^{i}d_{n-1}(c_{i}'\otimes d_{j}''c_{j}'')$

$=\underbrace {d_{i-1}'d_{i}'c_{i}'} _{=0}\otimes c_{j}''+\underbrace {(-1)^{i-1}d_{i}'c_{i}'\otimes d_{j}''c_{j}''+(-1)^{i}d_{i}'c_{i}'\otimes d_{j}''c_{j}''} _{=0}+(-1)^{i}(-1)^{i-1}c_{i}'\otimes \underbrace {d_{j-1}''d_{j}''c_{j}''} _{=0}=0$

zeigt, dass tatsächlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt.

Wenn die Randoperatoren $d',d''$ bzw. $d$ nicht besonders erwähnt werden sollen, so schreibt man auch einfach $C=C'\otimes C''$, das gilt insbesondere für singuläre Kettenkomplexe $S(X)$ topologischer Räume $X$, bei denen die Randoperatoren gegeben sind.

Formulierung des Satzes

Sind $X$ und $Y$ topologische Räume, so ist der singuläre Kettenkomplex $S(X\times Y)$ des Produktraumes ketten-homotopieäquivalent zum Tensorprodukt $S(X)\otimes S(Y)$.

Bedeutung

Wegen der Homotopieäquivalenz haben $S(X\times Y)$ und $S(X)\otimes S(Y)$ dieselben Homologiegruppen. Die Berechnung der singulären Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zurückgeführt, nämlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen. Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Künneth gelöst.