Satz von Motzkin

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Der Satz von Motzkin ist ein mathematischer Lehrsatz, der auf eine Arbeit des Mathematikers Theodore Samuel Motzkin aus dem Jahr 1935 zurückgeht. Er behandelt die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen des euklidischen Raums und ist angesiedelt im Übergangsfeld zwischen Analysis, Geometrie und der Theorie der topologischen Vektorräume.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend lässt sich der Satz wie folgt formulieren:[5]

Im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n \; (n \in \N)} ist eine motzkinsche Menge stets konvex.

Verallgemeinerung

Im Jahre 1951 erhielten Frederick Arthur Ficken[6] und Victor LaRue Klee in Verallgemeinerung des Motzkin’schen Satzes den folgenden Charakterisierungssatz für konvexe Mengen in reellen Hilberträumen:[7][8]

Jede beschränkt kompakte motzkinsche Menge in einem reellen Hilbertraum ist konvex.

Erläuterungen und Anmerkungen

  • Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein metrischer Raum mit der zugehörigen Abstandsfunktion , so bezeichnet man eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \subseteq X} als motzkinsche Menge, falls es zu jedem Raumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 \in X} genau einen Raumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \in T} gibt, der nach Maßgabe der Abstandsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} dem Raumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} am nächsten liegt. Manche Autoren nennen eine solche Menge auch eine tschebyschewsche Menge.[9][10]
  • In einem metrischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit der Abstandsfunktion ist eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge demzufolge eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 \in X} genau ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \in T} gibt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(x_1,x_0) = \inf_{y \in T} { d(y,x_0) }} . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} dabei sogar ein normierter Vektorraum mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\cdot\|} als Norm und der durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \mapsto d(x,y) = \| x-y \|} gegebenen Abstandsfunktion, so ist hier eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \subseteq X} eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 \in X} genau ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \in T} gibt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| x_1-x_0 \| = \inf_{y \in T} {\|y-x_0\| }} .[11]
  • Der euklidische Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n \; (n \in \N)} wird stets als mit dem Standardskalarprodukt und der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur versehen betrachtet.
  • In einem normierten Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} nennt man – gemäß Marti – eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K \subseteq X} beschränkt kompakt, wenn für jede natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} -Teilmenge dort eine kompakte Teilmenge ist.[12]
  • In einem strikt konvexen normierten Raum ist jede nichtleere kompakte konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.[12]
  • In einem strikt konvexen reflexiven Banachraum – und folglich auch in jedem Hilbertraum – ist jede nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.[12]
  • Der Satz von Motzkin lässt sich aus dem Auswahlsatz von Blaschke gewinnen.[13]
  • In seinem Lehrbuch Konvexe Mengen bewertet Kurt Leichtweiß den Satz von Motzkin – wenngleich er ihn nicht ausdrücklich unter diesem Namen darstellt – als eine bemerkenswerte, von T. S. Motzkin stammende Charakterisierung der Konvexität bei abgeschlossenen Untermengen des euklidischen Raumes.[14]

Literatur

  • Victor Klee: Convexity of Chevyshev sets. In: Mathematische Annalen. Band 142, 1961, S. 292–304 (MR0121633).
  • Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598).
  • Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
  • T. S. Motzkin: Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes. In: Atti. Reale Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (Rom), Serie VI. Band 21, 1935, S. 562–567.
  • Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495).

Einzelnachweise

  1. ↑ Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 153–158
  2. ↑ Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 53
  3. ↑ Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 103–107, S. 185
  4. ↑ Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 95–97
  5. ↑ Marti, op. cit., S. 158
  6. ↑ F. A. Ficken (13. August 1910–20. Dezember 1978) war ein US-amerikanischer Mathematiker (s. Link) und Herausgeber der American Mathematical Monthly im Zeitraum 1962-1966.
  7. ↑ Marti, op. cit., S. 156
  8. ↑ Dieser Charakterisierungssatz und seine Herleitung sind, wie Victor Klee in seiner Publikation von 1961 ausdrücklich festhält, im Wesentlichen F. A. Ficken zuzurechnen. In Martis Monographie (s. S. 156 und S. 271) wird der Satz als Satz von Ficken-Klee bezeichnet.
  9. ↑ Valentine, op. cit., S. 185
  10. ↑ Marti, op. cit., S. 153
  11. ↑ Lay, op. cit., S. 112
  12. ↑ a b c Marti, op. cit., S. 154
  13. ↑ Marti, op. cit., S. 158
  14. ↑ Leichtweiß, op. cit., S. 95
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