Satz von Kurosch-Ore

Der Satz von Kurosch-Ore (englisch Kurosh-Ore theorem oder Kuroš-Ore theorem) ist einer der klassischen Sätze des mathematischen Gebiets der Verbandstheorie. Der Satz behandelt eine Fragestellung zu irreduziblen Darstellungen von Elementen modularer Verbände und geht auf zwei Publikationen zurück, die von dem sowjetischen Mathematiker Alexander Gennadjewitsch Kurosch (im Jahre 1935) und von dem norwegischen Mathematiker Øystein Ore (im Jahre 1936) vorgelegt wurden. Er ist verwandt mit dem aus der Linearen Algebra bekannten Austauschsatz von Steinitz und eng verbunden mit dem Isomorphiesatz für modulare Verbände, auf dem der Beweis des Kurosch-Ore'schen Satzes im Wesentlichen beruht.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

In einem modularen Verband besitzt jede unverkürzbare aus irreduzibelen Komponenten bestehende Darstellung eines Elements (soweit überhaupt vorhanden) stets dieselbe Anzahl von Komponenten.

Im Einzelnen gilt:

Sind ein modularer Verband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \vee, \wedge)} sowie zwei natürliche Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \geq 1} und $m\geq 1$ und Elemente $v,x_{0},\,\dots ,x_{n-1},y_{0},\,\dots ,y_{m-1}\in V$ gegeben und hat $v$ die beiden Darstellungen

$v=x_{0}\vee \,\dots \vee x_{n-1}=y_{0}\vee \,\dots \vee y_{m-1}$,

wobei die beteiligten Elemente $x_{i}$ und $y_{j}$ sämtlich $\vee$-irreduzibel und beide Darstellungen $\vee$-irredundant sind ,

so ist $n=m$

und dabei gibt es zu jedem Index $i\in \{0,\,\dots ,n-1\}$ einen Index $j(i)\in \{0,\,\dots ,m-1\}$ mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = x_0 \vee \,\dots \vee x_{i-1} \vee y_{j(i)} \vee x_{i+1} \vee \,\dots \vee x_{n-1}} .

In gleicher Weise gilt der zugehörige duale Satz.

Verwandte Sätze

I

Zum Satz von Kurosch-Ore gibt es noch weitere Versionen. So wird etwa in der Monographie Lattices and Ordered Algebraic Structures von Thomas Scott Blyth der Satz in einer anderen, der obigen im Wesentlichen gleichwertigen Formulierung angeboten, die folgendes besagt:

In einem modularen Verband, der die absteigende Kettenbedingung erfüllt, haben alle irredundanten aus $\vee$-irreduzibelen Komponenten bestehenden $\vee$-Darstellungen eines Elements dieselbe Anzahl von Komponenten.

Wie Blyth zeigt, lässt sich in dieser Version der Satz von Kurosch-Ore weiter verschärfen, wenn statt eines modularen sogar ein distributiver Verband zugrunde liegt:

In einem distributiven Verband mit absteigender Kettenbedingung besitzt jedes vom Nullelement verschiedene Verbandselement eine und nur eine irredundante aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} -irreduzibelen Komponenten bestehenden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} -Darstellung.

Der letzte Satz tritt ebenfalls in der Monographie Einführung in die Verbandstheorie von Hans Hermes auf und wird dort vom Autor als Zerlegungssatz bezeichnet.

II

In seiner Monographie erwähnt Hermes den Satz von Kurosch-Ore zwar nicht, er formuliert jedoch dort im Zusammenhang mit dem Isomorphiesatz für modulare Verbände einen anderen Satz, der dem Kurosch-Ore'schen Satz ähnelt und den Hermes als Kettensatz bezeichnet. Dieser Kettensatz lässt sich folgendermaßen darstellen:

Sind in dem modularen Verband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \vee, \wedge)} zwei Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} durch eine endliche Kette Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_0 \subseteq (V, \leq)} verbunden und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_0} zugleich maximal in dem durch Inklusion geordneten Mengensystem aller $v$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} verbindenden Ketten, so ist auch jede andere $v$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} verbindende Kette Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} endlich und erfüllt dabei hinsichtlich ihrer Mächtigkeit die Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |K| \leq |K_0|} .

Der Kettensatz wird – nach Richard Dedekind – auch als dedekindscher Kettensatz bezeichnet und gilt in gleicher Weise noch in jedem (nach oben oder nach unten) semimodularen Verband.

Hermes greift beim Beweis des Kettensatzes wiederum auf ein anderes Resultat zurück, welches er als Folgerung aus dem erwähnten Isomorphiesatz gewinnt und das er als Nachbarsatz bezeichnet. Dieser Satz macht inhaltlich die Aussage, dass in einem modularen Verband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \vee, \wedge)} und ebenso in dem zugehörigen dualen Verband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \wedge, \vee)} für je zwei verschiedene Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v, w \in V} stets das semimodulare Gesetz erfüllt ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• In einem Verband $(V,\vee ,\wedge )$ ist für ein Element $v\in V$ eine Darstellung (englisch representation) eine Gleichung der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \vee \,\dots \vee v_{n-1}} oder der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \wedge \,\dots \wedge v_{n-1}} mit einer natürlichen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \geq 0} . Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_i} nennt man dabei die Komponenten der Darstellung. Die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} ist die Anzahl der Komponenten. Falls notwendig spricht man genauer von einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} -Darstellung bzw. einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} -Darstellung.
• Man bezeichnet eine Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \vee \,\dots \vee v_{n-1}} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \wedge \,\dots \wedge v_{n-1}} als $\vee$-redundant (englisch join-redundant) bzw. als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} -redundant (englisch meet-redundant) genau dann, wenn es einen Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \in \{ 0, \,\dots , n-1 \}} gibt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \vee \,\dots \vee v_{i-1} \vee v_{i+1} \vee \,\dots \vee v_{n-1}} bzw. mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_0 \wedge \,\dots \wedge v_{i-1} \wedge v_{i+1} \wedge \,\dots \wedge v_{n-1}} . Andernfalls bezeichnet man eine solche Darstellung als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} -irredundant (englisch join-irredundant) bzw. als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} -irredundant (englisch meet-irredundant). Ist der Kontext klar, so sagt man einfach redundant bzw. irredundant. Eine redundante Darstellung ist also in diesem Sinne verkürzbar, während eine irredundante Darstellung unverkürzbar ist.
• Ein Element $v\in V$ ist $\vee$-irreduzibel bzw. vereinigungsirreduzibel (englisch join-irreducible) genau dann, wenn für $v_{1},v_{2}\in V$ aus $v=v_{1}\vee v_{2}$ stets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_1} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_2} folgt. Entsprechend ist ein Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \in V} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} -irreduzibel bzw. durchschnittsirreduzibel (englisch meet-irreducible) genau dann, wenn für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1, v_2 \in V} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_1 \wedge v_2} stets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_1} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = v_2} folgt. Ist der Kontext klar, so sagt man einfach irreduzibel. Der obige verbandstheoretische Irreduzibilitätsbegriff entspricht dem Irreduzibilitätsbegriff der Ringtheorie.
• Jeder Verband Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \vee, \wedge)} ist zugleich eine teilweise geordnete Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \leq)} , deren Ordnungsrelation man aus den beiden Verknüpfungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vee} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \wedge} erhält, wobei man diese ihrerseits zurückgewinnt durch die paarweise Bildung von Infimum und Supremum. Damit lassen sich in Verbänden alle Begriffe verwenden, die man aus der Ordnungstheorie kennt, und nicht zuletzt auch der Begriff der Kette. Hier sagt man dann, es seien zwei verschiedene Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} und $w$ durch eine Kette $K$ verbunden, wenn $K$ bezüglich der induzierten Ordnungsrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\leq}|_{K}} ein kleinstes und ein größtes Element besitzt und diese beiden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} übereinstimmen.
• Eine teilweise geordnete Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V, \leq)} erfüllt die absteigende Kettenbedingung (englisch descending chain condition), wenn jede Kette der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1 \geq v_2 \geq \dots \geq v_n \geq \dots } nach endlich vielen Schritten stationär wird. Eine aus unendlich vielen verschiedenen Elementen bestehende Kette der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1 > v_2 > \dots > v_n > \dots } ist dann also unmöglich. Der dazu duale Begriff ist der der aufsteigenden Kettenbedingung (englisch ascending chain condition).
• Laut Lew Anatoljewitsch Skornjakow ist der Verband der Unterräume eines linearen Raums (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) das wichtigste Beispiel für einen modularen Verband, während (im Allgemeinen) der Verband aller Untergruppen eine Gruppe ... kein modularer Verband sei.
• Helmuth Gericke stellt in seiner Theorie der Verbände den Normalteilerverband einer Gruppe (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) als wichtiges Beispiel eines modularen Verbandes heraus. Den Satz von Kurosch-Ore gibt er – ohne Kurosch und Ore zu erwähnen – unter der Überschrift Der Austauschsatz in modularen Verbänden wieder.

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory (= American Mathematical Society Colloquium Publications. Band XXV). 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1967 (MR0227053). 
• T. S. Blyth: Lattices and Ordered Algebraic Structures (= Universitext). Springer-Verlag London, Ltd., London 2005 (MR2126425). 
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 73). Zweite erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1967 (MR0220634). 
• Helmuth Gericke: Theorie der Verbände (= Hochschultaschenbücher. 38/38a). 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967 (MR0219453). 
• George Grätzer: General Lattice Theory. New appendices by the author with B. A. Davey, R. Freese, B. Ganter, M. Greferath, P. Jipsen, H. A. Priestley, H. Rose, E. T. Schmidt, S. E. Schmidt, F. Wehrung and R. Wille. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin 1998, ISBN 3-7643-5239-6 (MR1670580). 
• A. G. Kuroš: Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen und sogenannten Dualgruppen. In: Mat. Sb. Band 42, 1935, S. 613–616. 
• Ralph N. McKenzie, George F. McNulty, Walter F. Taylor: Algebras, Lattices, Varieties. Volume I (= The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series). Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Monterey, California 1987, ISBN 0-534-07651-3 (MR0883644). 
• O. Ore: On the foundation of abstract algebra. II. In: Ann. of Math. (2). Band 37, 1936, S. 265–292 (MR1503277). 
• Egon Pracht: Algebra der Verbände (= Uni-Taschenbücher. Band 958). Ferdinand Schöningh, Paderborn, München, Wien, Zürich 1980, ISBN 3-506-99236-8 (MR0637885). 
• L. A. Skornjakow: Elemente der Verbandstheorie (= Wissenschaftliche Taschenbücher, Reihe Mathematik/Physik. Band 130). Akademie Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-7643-5239-6. 
• Gábor Szász: Einführung in die Verbandstheorie. Akadémiai Kiadó, Budapest 1962 (MR0138567).