Satz von Morita

Der Satz von Morita ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Der Satz geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des japanischen Mathematikers Kiiti Morita aus dem Jahre 1948 und behandelt das Problem, unter welchen Bedingungen ein topologischer Raum die Eigenschaft der Parakompaktheit besitzt. Er ist verwandt mit dem Satz über Metrisierbarkeit und Parakompaktheit des britischen Mathematikers Arthur Harold Stone.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Unter der allgemeinen Annahme des abzählbaren Auswahlaxioms gilt:

Jeder reguläre Lindelöf-Raum ist parakompakt.

Dabei gilt im Einzelnen:

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein regulärer Lindelöf-Raum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {U} = \left( U_i \right)_{i \in I}} eine beliebige offene Überdeckung von $X$, so lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} durch eine Mengenfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {O} = \left( O_k \right)_{k=1,2,3.\ldots}} offener Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} -Teilmengen so überdecken, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {O}} eine lokal-endliche Verfeinerung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {U}} bildet.

Eine etwas andere, jedoch eng verwandte Formulierung des Satzes findet man in der Monographie Topology von James Dugundji. Sie besagt:

In einem hausdorffschen Lindelöf-Raum sind Regularität und Parakompaktheit gleichwertige Konzepte.

Folgerungen

Aus dem moritaschen Satz lassen sich folgende Korollare ziehen:

Korollar 1 (Satz von Stone für separable Räume):

In einem separablen metrischen Raum besitzt jede offene Überdeckung eine lokal-endliche abzählbare Verfeinerung .

Korollar 2:

Ein hausdorffscher regulärer Lindelöf-Raum ist stets ein T₄-Raum. Dies gilt insbesondere für jeden regulären Hausdorff-Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Literatur

• James Dugundji: Topology. 8th printing. Allyn and Bacon, Boston MA 1973.
• Ernest Michael: A note on paracompact spaces. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 4, Nr. 5, 1953, S. 831–838, JSTOR:2032419. 
• Kiiti Morita: Star-finite coverings and the star-finite property. In: Mathematica Japonica. Band 1, 1948, S. 60–68. 
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2., überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659). 
• Martin Väth: Topological Analysis. From the Basics to the Triple Degree for Nonlinear Fredholm Inclusions (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 16). Walter de Gruyter, Berlin / Boston 2012, ISBN 978-3-11-027722-7 (MR2961860). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970, ISBN 0-201-08707-3 (MR0264581).