Satz von Radon-Riesz

Der Satz von Radon-Riesz ist ein mathematischer Satz in der Maßtheorie, der Aussagen darüber trifft, wann die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ und die Konvergenz im p-ten Mittel von Funktionenfolgen äquivalent sind. In diesem Zusammenhang wird die Konvergenz im p-ten Mittel auch wie in der Funktionalanalysis üblich als Normkonvergenz oder starke Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ bezeichnet. Der Satz ist nach Johann Radon und Frigyes Riesz benannt.

Aussage

Es sei $p\in (1,\infty )$ und $f\colon X\to \mathbb {K} ,(f_{n}\colon X\to \mathbb {K} )_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}$ und $\|\cdot \|_{p}$ bezeichne die ${\mathcal {L}}^{p}$-Norm. Dann konvergiert $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ im p-ten Mittel genau dann, wenn $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach konvergiert und $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p}=\|f\|_{p}$ ist.

Radon-Riesz-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Riesz ist Namensgeber für die Radon-Riesz-Eigenschaft. Dies ist eine Eigenschaft von normierten Räumen in der Funktionalanalysis. Ein normierter Raum hat die Radon-Riesz-Eigenschaft genau dann, wenn in diesem Raum die Normkonvergenz einer Folge äquivalent dazu ist, dass die Folge schwach konvergiert und die Folge der Normen gegen die Norm des Grenzwertes konvergiert.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.