Satz von Stallings

Der Satz von Stallings ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Gruppentheorie, der Gruppen mit mehr als einem Ende charakterisiert. Aus ihm ergibt sich die gelegentlich ebenfalls als Satz von Stallings oder Satz von Stallings-Swan bezeichnete Charakterisierung freier Gruppen durch ihre kohomologische Dimension.

John Stallings und Richard Swan erhielten dafür den Colepreis für Algebra.

Satz von Stallings über Enden von Gruppen

Für eine endlich erzeugte Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} bezeichne Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle e(G)} die Anzahl der Enden des Cayley-Graphen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} . (Diese Anzahl ist unabhängig von der Wahl des für die Konstruktion des Cayley-Graphen verwendeten Erzeugendensystems.) Nach einem Satz von Freudenthal gilt entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e(G)\le 2} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e(G)=\infty} .

Der Satz von Stallings besagt, dass Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle e(G)>1} genau dann der Fall ist, wenn sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G}

• entweder als nichttriviales amalgamiertes Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=G_1*_AG_2} zweier endlich erzeugter Gruppen über einer endlichen amalgamierten Untergruppe
• oder als nichttriviale HNN-Erweiterung $G=G_{1}*_{A}$ einer endlich erzeugten Gruppe über einer endlichen Gruppe

zerlegen lässt.

Insbesondere gilt für torsionsfreie endlich erzeugte Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e(G)=\infty} genau dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ein freies Produkt $G=G_{1}*G_{2}$ zweier nichttrivialer Untergruppen ist.

Satz von Stallings-Swan über Charakterisierung freier Gruppen

Aus dem Satz von Stallings folgt, dass eine endlich erzeugte Gruppe genau dann frei ist, wenn für ihre kohomologische Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cd_{\Z}(G)=1} gilt.

Eine allgemeinere Form wurde von Swan bewiesen. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ein Ring mit Eins und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine torsionsfreie Gruppe. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} genau dann frei, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cd_R(G)= 1} gilt. Dieser Satz kommt ohne die Annahme aus, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} endlich erzeugt ist. Die Annahme der Torsionsfreiheit ist für Gruppen mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle cd_{\mathbb {Z} }(G)<\infty } immer erfüllt.

Eine weitere Folgerung ist, dass eine torsionsfreie Gruppe, die eine freie Untergruppe von endlichem Index enthält, selbst frei sein muss.

Literatur

• John Stallings: On torsion-free groups with infinitely many ends. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 312–334.
• Richard Swan: Groups of cohomological dimension one. J. Algebra 12 (1969), 585–610.
• Daniel Cohen: Groups of cohomological dimension one. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 245 (1972), Springer-Verlag, Berlin-New York.
• Martin Dunwoody: Accessibility and groups of cohomological dimension one. Proc. London Math. Soc. (3) 38 (1979), no. 2, 193–215.
• Martin Dunwoody: The accessibility of finitely presented groups. Invent. Math. 81 (1985), no. 3, 449–457.
• Michail Gromow: Hyperbolic groups. Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8 (1987), Springer, New York, 75-263.
• Graham Niblo: A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end. Geom. Dedicata 105 (2004), 61–76.
• Michail Kapovich: Energy of harmonic functions and Gromov's proof of Stallings' theorem. Georgian Math. J. 21 (2014), no. 3, 281–296.