Unter der Teilersumme
einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.
Beispiel:
- Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also
.
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle,
z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.
Definitionen
Definition 1: Summe aller Teiler
Seien
alle Teiler der natürlichen Zahl
, dann nennt man
die Teilersumme von
. Dabei sind 1 und
selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion
heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
![{\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d736df535e421abe0fa1859c19c52a064f746d7c)
Definition 2: Summe der echten Teiler
Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl
ist die Summe der Teiler von
ohne die Zahl
selbst und wir bezeichnen diese Summe mit
.
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc901b163c8b92c8bfaf7cc41168cee1d55f7e4)
Offensichtlich gilt die Beziehung:
![{\displaystyle \sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750820c398578480347463194e57f28a8ab2a13b)
Definition 3: defizient, abundant, vollkommen
Eine natürliche Zahl
heißt
- defizient oder teilerarm, wenn
,
- abundant oder teilerreich, wenn
,
- vollkommen, wenn
.
Beispiele:
, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
, d. h. 12 ist abundant.
, d. h. 10 ist defizient.
Eigenschaften der Teilersumme
Satz 1: Teilersumme einer Primzahl
Sei
eine Primzahl. Dann gilt:
![{\displaystyle \sigma (n)=n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a27423d007ad544728465ca9cbd819eec9b977)
Beweis: Da
eine Primzahl ist, sind 1 und
die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.
Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl
Sei
eine Primzahl und
. Dann gilt für die Potenz
ganz allgemein:
![{\displaystyle \sigma (n^{k})={\frac {n^{k+1}-1}{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e385064f255fd8d74fcdb4745220cda9d4687e)
Beweis: Da
eine Primzahl ist, hat
nur die folgenden Teiler:
. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af5aa031c5c61b979f1198aab1e8dafb4ff224f)
![{\displaystyle \sigma (8)=1+2+4+8=15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b5462e2e0cd84d29fe224d6a37bd6275ecdcbb)
Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen
Seien
und
verschiedene Primzahlen. Dann gilt:
![{\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54758a2c2aa00b857649aae6215b0a9854f9d1a5)
Beweis: Die Zahl
besitzt die vier verschiedenen Teiler 1,
,
und
. Daraus folgt:
![{\displaystyle \sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f882715207595b832b5533abf0ca8743d39a5e93)
Beispiel:
![{\displaystyle \sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84158b3ac31f3580fdb2cd9ad5cfcdf72cad9067)
![{\displaystyle \sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c381067bd3b9a2cd1fdde48bb22e9ec6ee23f1af)
Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3
Seien
verschiedene Primzahlen und
natürliche Zahlen. Ferner sei
. Dann gilt:
![{\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc322d06dfb263418d699217d2639f68f863a4fa)
Satz von Thabit
Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine feste natürliche Zahl
seien
und
.
Wenn
,
und
Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen
und
befreundet, d. h.
und
.
- Beweis
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dd0ba4046e253c6b2d91ffd051f917b6103a1d)
Analog zeigt man
.
Teilersumme als endliche Reihe
Für jede natürliche Zahl
kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften
von
explizit Bezug genommen wird:
![{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060bd4e739ef88789d05ecf88a7fb15145b51832)
Beweis:
Die Funktion
![{\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326b9777f033b275b026329ab27c2dd0165f3ded)
wird 1, wenn
ein Teiler von
ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt
![{\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\lim _{x\to n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu x}{\mu }}=\lim _{x\to n}{\frac {1}{2\mu }}\left(\sin 2\pi x\cot {\frac {\pi x}{\mu }}-1+\cos 2\pi x\right)=\lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\mu \sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c2c5f833f396842b3550676819a29bd44de330)
Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn
geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn
ein Teiler von
ist.
Dann ist aber
![{\displaystyle \lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}=\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{x\to n}{\frac {\sin 2\pi x}{2\sin {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\cos {\frac {\pi n}{\mu }}\lim _{x\to n}{\frac {2\pi \cos 2\pi x}{2{\frac {\pi }{\mu }}\cos {\frac {\pi x}{\mu }}}}\;=\;\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c005cb70628f7aad39bbc70c74d7f230199486)
Nur in diesem Fall wird
, wie oben behauptet.
Multipliziert man jetzt
mit
und summiert das Produkt über alle Werte
bis
, so entsteht nur dann ein Beitrag
zur Summe, wenn
ein Teiler von
ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e0455460e9a116d881d21e79fc7843d3d92fdd)
deren Spezialfall
die einfache Teilersumme
ist.
Siehe auch
Literatur
- Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (MR1950084 – Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
- József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9 (MR2186914).
- József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7 (MR2119686).
- Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).