Die ersten Werte von σ0 ... σ4
n |
= |
σ0(n) |
σ1(n) |
σ2(n) |
σ3(n) |
σ4(n)
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1
|
2 |
2 |
2 |
3 |
5 |
9 |
17
|
3 |
3 |
2 |
4 |
10 |
28 |
82
|
4 |
22 |
3 |
7 |
21 |
73 |
273
|
5 |
5 |
2 |
6 |
26 |
126 |
626
|
6 |
2‧3 |
4 |
12 |
50 |
252 |
1394
|
7 |
7 |
2 |
8 |
50 |
344 |
2402
|
8 |
23 |
4 |
15 |
85 |
585 |
4369
|
9 |
32 |
3 |
13 |
91 |
757 |
6643
|
10 |
2‧5 |
4 |
18 |
130 |
1134 |
10642
|
11 |
11 |
2 |
12 |
122 |
1332 |
14642
|
12 |
22‧3 |
6 |
28 |
210 |
2044 |
22386
|
13 |
13 |
2 |
14 |
170 |
2198 |
28562
|
14 |
2‧7 |
4 |
24 |
250 |
3096 |
40834
|
15 |
3‧5 |
4 |
24 |
260 |
3528 |
51332
|
16 |
24 |
5 |
31 |
341 |
4681 |
69905
|
17 |
17 |
2 |
18 |
290 |
4914 |
83522
|
18 |
2‧32 |
6 |
39 |
455 |
6813 |
112931
|
19 |
19 |
2 |
20 |
362 |
6860 |
130322
|
20 |
22‧5 |
6 |
42 |
546 |
9198 |
170898
|
21 |
3‧7 |
4 |
32 |
500 |
9632 |
196964
|
22 |
2‧11 |
4 |
36 |
610 |
11988 |
248914
|
23 |
23 |
2 |
24 |
530 |
12168 |
279842
|
24 |
23‧3 |
8 |
60 |
850 |
16380 |
358258
|
25 |
52 |
3 |
31 |
651 |
15751 |
391251
|
26 |
2‧13 |
4 |
42 |
850 |
19782 |
485554
|
27 |
33 |
4 |
40 |
820 |
20440 |
538084
|
28 |
22‧7 |
6 |
56 |
1050 |
25112 |
655746
|
29 |
29 |
2 |
30 |
842 |
24390 |
707282
|
30 |
2‧3‧5 |
8 |
72 |
1300 |
31752 |
872644
|
In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben
bezeichnet.
Definition
Für eine natürliche Zahl
ist definiert:
.
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von
, einschließlich
und
.
Beispielsweise ist demnach
Spezialisierungen
Eigenschaften
[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ
1
ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde
gilt:
.
- Hat
die Primfaktorzerlegung
, so ist
,
für
, und für
gilt:
.
- Die durchschnittliche Größenordnung von
für
ist
, mit der Riemannschen Zetafunktion
.[2]
- Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion
ist
. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten ![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
.
Reihenformeln
Speziell für
gilt:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{0}(i)=\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56281252e14f137955b825000a960a69bde1a27)
Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als
schreibt: Wenn man nun
durch
substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die
teilen.
Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)[3]
für ![{\displaystyle s>1,\;s>a+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f65620f622e7bbbbfac79968018e3f0104a62c)
was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:
für ![{\displaystyle s>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22e768f9a8a3e32ca85ee1f8095009d4a32a248)
und (S. 292, Satz 305)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde862cb41abfcad6fd5b0b9edaf17ded2f3af7d)
Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n^{a}q^{kn}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{a}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa882277c7b62d2e755e9e6f7960db221be783e)
für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.
Die Teilerfunktion lässt sich für
mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:[4]
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754e6a68cd65c31ee85e9b671660fa6b70e2b4f2)
Die Berechnung der ersten Werte von
zeigt das Schwanken um den "Mittelwert"
:
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf656d9d28eb4e6b5948ea58d577e6f17bf3fbdd)
Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen
Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht
, gerade, sind die Teilerfunktionen
. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle
:[5]
![{\displaystyle 120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)=\sigma _{7}(n)-\sigma _{3}(n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4d4489db303fd8bf71a9ae7cc01ec21e1753b3)
![{\displaystyle 5040\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{5}(n-m)=11\sigma _{9}(n)-21\sigma _{5}(n)+10\sigma _{3}(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b3bab28cc071a223cc9734acb4066fc251443e)
Quellen
- ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
- ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134.
- ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292.
- ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.
- ↑ Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.