Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

${\begin{aligned}&{\text{D and E midpots of AC and BC}}\\\Rightarrow \,&DE\parallel AB{\text{ and }}2|DE|=|AB|\end{aligned}}$

Der Satz von der Mittelparallelen im Dreieck ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Dreiecksgeometrie. Der Satz behandelt eine elementare Eigenschaft der Dreiecke der euklidischen Ebene.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

In einem Dreieck der euklidischen Ebene ist die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Seiten stets parallel zur dritten Dreiecksseite und stets halb so lang wie diese.

Beweis

Der Satz ergibt sich elementargeometrisch, wobei die Parallelitätsbehauptung aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt, während die Aussage über das Längenverhältnis sich dann mit dem zweiten Strahlensatz ergibt.

Ein anderer Beweis unter Verwendung der Vektorrechnung geht wie folgt:

Ausgehend von der Festlegung (vgl. Bild), dass das Dreieck die Eckpunkte $A,B,C$ hat und dass $D$ der Mittelpunkt der Seite $[AB]$ ist und $E$ der Mittelpunkt der Seite $[AC]$, setzt man

${\vec {a}}={\overrightarrow {BC}}\;,\;{\vec {b}}={\overrightarrow {CA}}\;,\;{\vec {c}}={\overrightarrow {AB}}\;,\;{\vec {m}}_{a}={\overrightarrow {DE}}$   .

Man erhält daraus die Gleichungen

${\frac {1}{2}}{\vec {b}}={\overrightarrow {CE}}={\overrightarrow {EA}}\;,\;{\frac {1}{2}}{\vec {c}}={\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {DB}}$   .

Damit folgt

${\vec {m}}_{a}+{\frac {1}{2}}{\vec {b}}+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}={\vec {0}}$

sowie

${\vec {m}}_{a}-{\frac {1}{2}}{\vec {b}}-{\vec {a}}-{\frac {1}{2}}{\vec {c}}={\vec {0}}$   .

Durch Addieren der linken und der rechten Seiten der letzten beiden Gleichungen erhält man dann

$2{\vec {m}}_{a}-{\vec {a}}={\vec {0}}$

und damit

${\vec {m}}_{a}={\frac {1}{2}}{\vec {a}}$   .

Daraus ergibt sich einerseits, dass die beiden Geraden, auf denen die Strecken $[BC]$ bzw. $[DE]$ liegen, in derselben Richtung verlaufen und damit parallel sind, und andererseits, dass die Längen der beiden Strecken $[BC]$ und $[DE]$ die behauptete Beziehung, nämlich

${\overline {DE}}={\frac {1}{2}}{\overline {BC}}$

erfüllen.

Für die beiden anderen Mittelparallelen geht der Beweis entsprechend.

Quellen und Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. 
• Siegfried Krauter: Erlebnis Elementargeometrie. Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Spektrum Akademischer Verlag, München 2005, ISBN 3-8274-1644-2. 
• Wilhelm Kuypers, Josef Lauter (Hrsg.): Mathematik Sekundarstufe II. Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Cornelsen Verlag, 1992.