Satz von van Est

In der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen ermöglicht der van Est-Isomorphismus oder Satz von van Est die Berechnung der stetigen Kohomologie von halbeinfachen Lie-Gruppen. Er wurde von Willem Titus van Est bewiesen.

Aussage

Die stetige Kohomologie $H_{c}^{*}(G)$ einer nicht-kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ kann berechnet werden als

$H_{c}^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^{u}/K)$.

Hierbei bezeichnet $K$ eine maximal kompakte Untergruppe von $G$ und $G^{u}/K$ das kompakte Dual des symmetrischen Raumes $G/K$, sowie $H_{dR}^{*}(G^{u}/K)$ die De-Rham-Kohomologie von $G^{u}/K$.

Beispiele

• Für $G=SO(n,1)$ ist $G/K=H^{n}$ der hyperbolische Raum, sein dualer symmetrischer Raum ist die Sphäre $G^{u}/K=S^{n}$ und mit dem Satz von van Est erhält man

$H_{c}^{i}(SO(n,1)=H_{dR}^{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0,n\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

• Für $G=SL(n,\mathbb {C} )$ ist $G/K=SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)$ mit kompaktem Dual $G^{u}/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)$, mit dem Satz von van Est erhält man

$H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=H_{dR}^{*}(SU(n))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),$

wobei $b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

Literatur

• W.T. van Est: Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 56 (1953), 484–504
• W.T. van Est: On the algebraic cohomology concepts in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 225–233, 286–294
• W.T. van Est: Une application d’une méthode de Cartan-Leray, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 542–544