Scheitelfaktor

Der Scheitelfaktor oder Crest-Faktor (englisch crest factor) beschreibt in der Elektrotechnik das Verhältnis von Scheitelwert zu Effektivwert einer Wechselgröße und ist immer größer oder gleich eins. Anwendung findet er in Bereichen der elektrischen Messtechnik, Nachrichtentechnik, Tontechnik und Akustik.

Er dient wie der Formfaktor oder der Klirrfaktor als Kennwert zur groben Beschreibung der Kurvenform einer Wechselgröße.

Das Quadrat des Scheitelfaktors wird als englisch Peak-to-average power ratio (PAPR) bezeichnet und drückt das Verhältnis von Spitzenleistung zu der mittleren Leistung eines Signals aus. Der PAPR wird üblicherweise als logarithmisches Maß in Dezibel angegeben. Er dient unter anderem bei Funkempfängern zur Gewinnung eines Steuersignals zur automatischen Verstärkungsregelung (AGC).

Definition

Der Scheitelfaktor der Größe $X$ ist definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s=\frac{|X|_{\mathrm{max}}}{X_{\mathrm{eff}}}.}

Beispiel: Wenn eine sinusförmige Wechselspannung einen Effektivwert von 230 V aufweist, beträgt der Spitzenwert ca. 325 V. Der Scheitelfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{s}} ist in diesem Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}414 } .

Praktische Bedeutung

Messgeräte für Wechselstrom und -spannung mit Effektivwertmessung müssen Momentanwerte um den Spitzenwert des Messsignales herum ausreichend schnell verarbeiten können. Einfache elektronische Stromzähler und Strommessgeräte arbeiten bei hohen Scheitelfaktoren daher oft ungenau, da sie entweder einen zu geringen Dynamikumfang haben und/oder eine zu geringe Abtastrate.

Hohe Scheitelfaktoren des aufgenommenen Stromes von netzbetriebenen Geräten bedeuten einen hohen Anteil von Oberschwingungen im Stromnetz, es entstehen aufgrund des Innenwiderstandes des Stromnetzes daraus auch Verzerrungen der Sinusform der Spannung. Verbraucher mit hohen Crestfaktoren bei der Stromaufnahme verursachen eine hohe Verzerrungsblindleistung. Typische Beispiele sind Schaltnetzteile, Stromrichter und Frequenzumrichter ohne Leistungsfaktorkorrektur. Der Effektivstrom ist höher als der für die aufgenommene Leistung zu erwartende Strom. Der Nullleiter im Drehstromnetz kann trotz symmetrischer Belastung mit einphasigen Verbrauchern mit verzerrter Stromaufnahme einen stark erhöhten Strom führen, der ihn überlastet, obwohl in den Außenleitern kein Überstrom herrscht. Hohe Scheitelfaktoren sind daher unerwünscht. Sie werden durch die Leistungsfaktorkorrektur vermieden.

Auch Netztransformatoren werden durch angeschlossene Gleichrichter und Siebkondensatoren weit höher belastet als bei einer ohmschen Last, da der Strom zum Nachladen des Kondensators nur während des Stromflusswinkels fließt.

Thyristorsteller und Dimmer haben bei Teillastbetrieb eine stark verzerrte, impulsförmige Stromaufnahme. Der von ihnen aufgenommene Strom hat teilweise einen sehr hohen Scheitelfaktor von bis über 10.

In der Akustik bzw. Tontechnik sind hohe Crestfaktoren des Signales als auch der Hüllkurve typisch und bestimmen die erforderliche Aussteuerbarkeit von Verstärkern, Lautsprechern, Mikrofonen und Tonträgern. Aussteuerungsanzeigen berücksichtigen das durch das sogenannte True Peak Meter, das es dem Tonmeister ermöglicht, die Aussteuerung zurückzunehmen, um Verzerrungen vorzubeugen. Gute Tontechnik muss hohe Crestfaktoren verarbeiten können, ohne zu übersteuern. Dynamikkompression kann das zwar ebenfalls vermeiden, führt jedoch zu einem Informationsverlust bzw. zu verminderter Musikqualität.

PAPR

Das Verhältnis von Spitzenleistung zu der mittleren Leistung eines Signals, englisch Peak-to-Average Power Ratio und abgekürzt PAPR, ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{PAPR} = k_s^2 =\frac{|X|_{\mathrm{max}}^2}{X_{\mathrm{eff}}^2}.}

Logarithmisch ausgedrückt ist dies:

$\mathrm {PAPR} _{\mathrm {dB} }=k_{s\ \mathrm {dB} }^{2}=10\ \lg {\frac {|X|_{\mathrm {max} }^{2}}{X_{\mathrm {eff} }^{2}}}\ \mathrm {dB} .$

Scheitelfaktor-Werte (Beispiele)

Folgende Tabelle zeigt die Scheitelfaktoren und PAPR für verschiedene, einfache Signalformen und einige in der Nachrichtentechnik übliche Modulationsverfahren. Bei den angeführten Modulationsverfahren (modulierte HF-Signale) bezieht man den Crestfaktor auf das leistungsstärkste Symbol. Ein frequenzmoduliertes Signal beispielsweise besitzt eine konstante Hüllkurve und damit einen Crestfaktor von 1.

Eigenschaften unterschiedlicher Schwingungsformen

Schwingungsart	Schwingungsform	Betragsmittel durch Scheitelwert	Formfaktor = Betragsmittel durch Effektivwert	Scheitelfaktor = Scheitelwert durch Effektivwert	PAPRFehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle _{\mathbf{dB}}}
Sinusschwingung		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac2\pi \approx 0{,}637}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac\pi{2 \sqrt 2} \approx 1{,}11}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt2 \approx 1{,}414}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}01 \ \mathrm{dB}}
Volle Schwingung gleichgerichteter Sinus	Datei:Simple full-wave rectified sine.svg	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac2\pi \approx 0{,}637}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac\pi{2 \sqrt2} \approx 1{,}11}	${\sqrt {2}}\approx 1{,}414$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}01 \ \mathrm{dB}}
Halbschwingung gleichgerichteter Sinus	Datei:Simple half-wave rectified sine.svg	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac1\pi \approx 0{,}318}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac\pi2 \approx 1{,}571}	$2\,$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6{,}02 \ \mathrm{dB}}
Dreiecksschwingung	Datei:Triangle wave.svg	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac12 = 0{,}5}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac2{\sqrt3} \approx 1{,}155}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt3 \approx 1{,}732}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4{,}77 \ \mathrm{dB}}
Symmetrische Rechteckschwingung	Datei:Square wave.svg	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \,}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0\ \mathrm {dB} }
Unsymmetrische Rechteckschwingung (PWM-Signal)	Datei:Pulse wide wave.svg	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {t_{1}}{T}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac T{t_1}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{ \frac T{t_1}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10\ \lg \frac T{t_1} \ \mathrm{dB}}
Frequenz- oder Phasenmodulation, z. B. GMSK bzw. QPSK				$1$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \ \mathrm{dB}}
4-Bit-Quadratur-Amplituden- modulation (16-QAM)				Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac95}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2{,}6\ \mathrm{dB}}
6-Bit-Quadratur-Amplituden- modulation (64-QAM)				Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac73}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}7\ \mathrm{dB}}

Literatur

• Rene Flosdorff, Günther Hilgarth: Elektrische Energieverteilung. Teubner, 2003, ISBN 3-519-26424-2. 
• Tony J. Rouphael: RF and Digital Signal Processing for Software-Defined Radio. 1. Auflage. Newnes, 2008, ISBN 978-0-7506-8210-7. 
• Jürgen Nitsch, Uwe Knauff, Mathias Magdowski: Einführung in die Elektrotechnik. 2. Auflage. Shaker, 2011, ISBN 978-3-8322-7684-3.