Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus

Sekans hyperbolicus (blau) und Kosekans hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans hyperbolicus (csch) und Sekans hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

${\begin{aligned}\operatorname {sech} \ x&={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {1}{\cosh x}}\\\operatorname {csch} \ x&={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\sinh x}}\end{aligned}}$

Eigenschaften

	Sekans hyperbolicus	Kosekans hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty \,;\,x\neq 0$
Wertebereich	$0<f(x)\leq 1$	$-\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	$x<0$ streng monoton steigend $x>0$ streng monoton fallend	$x>0$ streng monoton fallend $x<0$ streng monoton fallend
Symmetrien	Spiegelsymmetrie zur y-Achse	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Achsensymmetrie zu $y=-x$
Asymptote	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \infty$
Nullstellen	keine	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	$x=0$
Extrema	Maximum bei $x=0$	keine
Wendepunkte	$x=\pm \ln {(1+{\sqrt {2}})}$	keine

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:

${\begin{aligned}x&=\operatorname {arsech} \ y\\x&=\operatorname {arcsch} \ y\end{aligned}}$

Ableitungen

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} \ x&=-\operatorname {sech} \ x\cdot \operatorname {tanh} \ x=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} \ x&=-\operatorname {csch} \ x\cdot \operatorname {coth} \ x=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} \ x\cdot {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}x}}\\\end{aligned}}$

Integrale

Integrale der Hyperbelfunktionen

${\begin{aligned}\int \operatorname {sech} x\ \mathrm {d} x&=\arctan \left(\sinh x\right)+C\\\int \operatorname {csch} x\ \mathrm {d} x&=\ln \left|\operatorname {tanh} \,{\frac {x}{2}}\right|+C\end{aligned}}$

Die durch den Koordinatenursprung verlaufende Stammfunktion des Sekans hyperbolicus wird Gudermannfunktion genannt.

Bestimmte Integrale

Für folgende Verallgemeinerung ist diese Formel in Bezug auf alle positiven Zahlen w gültig:

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} (x)^{w}\,\mathrm {d} x=2^{w-2}\beta ({\tfrac {1}{2}}w)$

Mit dem griechischen Buchstaben β wird die Eulersche Betafunktion zum Ausdruck gebracht.

Integrale von Produkten aus Cosekans hyperbolicus und Polynomfunktionen

Wenn der Cosekans hyperbolicus mit ganzrationalen Polynomfunktionen multipliziert werden, dann entstehen meist Funktionen mit polylogarithmischen Integralen:

Für folgende Funktion ist die Ursprungsstammfunktion dilogarithmisch beschaffen:

$\int _{0}^{x}y\,\operatorname {csch} (y)\,\mathrm {d} y=2\,\operatorname {Li} _{2}[\tanh({\tfrac {1}{2}}x)]-{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {Li} _{2}[\tanh({\tfrac {1}{2}}x)^{2}]=2\,\operatorname {Li} _{2}[1-\exp(-x)]-{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {Li} _{2}[1-\exp(-2x)]$

Deswegen gilt für folgendes bestimmtes Integral:

${\frac {3}{2}}\,\operatorname {Li} _{2}(1)=\int _{0}^{\infty }x\,\operatorname {csch} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {\cosh(x)}{(1-z^{2})\sinh(x)^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh(x)}{(1-z^{2})\sinh(x)^{2}+1}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\pi }{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z={\frac {1}{4}}\pi ^{2}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\operatorname {Li} _{2}(1)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}$

Dies ist somit eine auf dem Satz von Fubini basierende Beweisführung für das sogenannte Basler Problem und findet in der Theorie über die Riemannsche Zeta-Funktion Anwendung.

Integrale der Wurzeln des Sekans hyperbolicus

Die Gudermannfunktion als Ursprungsstammfunktion des Sekans hyperbolicus ist eine elementare Funktion:

$\int _{0}^{x}\operatorname {sech} (y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {gd} (x)=\arctan[\sinh(x)]=\arcsin[\tanh(x)]=2\arctan[\tanh({\tfrac {1}{2}}x)]=$

$={\tfrac {1}{2}}\pi -2\arctan[\exp(-x)]=2\arctan[\exp(x)]-{\tfrac {1}{2}}\pi$

Die Ursprungsstammfunktion von der Quadratwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein lemniskatisches Integral:

$\int _{0}^{x}{\sqrt {\operatorname {sech} (y)}}\,\mathrm {d} y=2\,\operatorname {arcsl} [\tanh({\tfrac {1}{2}}x)]$

Die soeben gezeigte Funktion zählt zu den nicht elementaren Funktionen.

Das Integral von Null bis Unendlich von der Quadratwurzel des Sekans Hyperbolicus nimmt exakt den Wert der lemniskatischen Konstante an.

Und die Ursprungsstammfunktion von der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist ein äquianharmonisches Integral:

$\int _{0}^{x}{\sqrt[{3}]{\operatorname {sech} (y)}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{27}}\,{\text{F}}\left\{2\arctan \left[{\frac {\tanh(x)}{{\sqrt[{4}]{3}}\,\operatorname {sech} (x)^{1/3}{\sqrt {1+\operatorname {sech} (x)^{2/3}+\operatorname {sech} (x)^{4/3}}}}}\right];\sin \left({\frac {1}{12}}\pi \right)\right\}$

Auch die Ursprungsstammfunktion für das Quadrat der Kubikwurzel des Sekans hyperbolicus ist äquianharmonisch:

$\int _{0}^{x}{\sqrt[{3}]{\operatorname {sech} (y)^{2}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{27}}\,{\text{F}}\left\{2\arctan \left[{\frac {\tanh(x)}{{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {1+\operatorname {sech} (x)^{2/3}+\operatorname {sech} (x)^{4/3}}}}}\right];\cos \left({\frac {1}{12}}\pi \right)\right\}$

Sowohl die lemniskatischen als auch die äquianharmonischen Integrale zählen zu den sogenannten elliptischen Integralen.

Reihenentwicklungen

${\begin{aligned}\operatorname {sech} \ x&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(8k+4)\pi }{(2k+1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}\\\operatorname {csch} \ x&=1/x+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}\end{aligned}}$

Komplexes Argument

${\begin{aligned}&\operatorname {sech} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+\mathrm {i} {\frac {-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}\\&\operatorname {sech} (\mathrm {i} y)=\sec(y)\\&\operatorname {csch} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}\\&\operatorname {csch} (\mathrm {i} y)=-\mathrm {i} \csc(y)\end{aligned}}$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Cosecant. In: MathWorld (englisch).

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus