Sehnensatz
Der Sehnensatz ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken, die von zwei sich schneidenden Kreissehnen gebildet werden.
Genauer besagt er:
- Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen in einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} , so ist das Produkt der dadurch gebildeten Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.
Geschichte
Euklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen Elementen (Buch III, § 35).
Formulierung des Satzes
Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} schneiden. Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne seien mit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} , die mit der anderen Sehne mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} und bezeichnet. Dann gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} }
Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{AS} : \overline{DS} = \overline{BS} : \overline{CS}}
Umkehrung
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Wenn für die Diagonalen eines Vierecks Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABCD} mit dem Diagonalenschnittpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline {AS} \cdot \overline {CS} = \overline {BS} \cdot \overline {DS}}
dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis, das heißt, es ist ein Sehnenviereck.
Zusammenhang mit dem Höhensatz
|CD||DE|=|AD||DB| <=> h2=pq
Der Sehnensatz lässt sich auch als eine Verallgemeinerung des Höhensatzes von Euklid auffassen. Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Höhensatzes von Euklid.
Herleitung
Der Satz ergibt sich unmittelbar aus in der Konfiguration auftretenden ähnlichen Dreiecken. Für die Dreiecke ASD and BSC gilt nämlich:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \angle ADS&=\angle SCB\, (\text{Umfangswinkel ueber AB})\\ \angle SAD&=\angle CBS\, (\text{Umfangswinkel ueber CD})\\ \angle DSA&=\angle BSC\, (\text{Scheitelwinkel}) \end{align} }
Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und es folgt somit:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{AS}{SD}=\frac{BS}{SC} \Leftrightarrow |AS|\cdot|SC|=|BS|\cdot|SD|}
Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.
Siehe auch
- Sekantensatz
- Sekanten-Tangenten-Satz
- Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehnen-, Sekanten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept
Literatur
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67643-0 (Springer-Lehrbuch), S.. 148
- Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 149 (Uni-Taschenbücher 669).
- Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
Weblinks
- Intersecting Chords Theorem auf cut-the-knot.org
- Intersecting Chords Theorem auf proofwiki.org
- Eric W. Weisstein: Chord. In: MathWorld (englisch).
