Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ im Punkt $(\cosh \,A,\sinh \,A)$, wobei $A$ für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die $x$-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole $\sinh$ bzw. $\cosh$, in älteren Quellen auch ${\mathfrak {Sin}}$ und ${\mathfrak {Cos}}.$ Der Kosinus hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen

• Sinus hyperbolicus

$\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-i\,\sin(i\,x)$

• Kosinus hyperbolicus

$\cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cos(i\,x)$

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion ($\exp x=\cosh x+\sinh x$).

Eigenschaften

Sinus hyperbolicus (rot) und Kosinus hyperbolicus (blau) für reelle x.

	Sinus hyperbolicus	Kosinus hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<+\infty$	$1\leq f(x)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	$-\infty <x\leq 0$ streng monoton fallend $0\leq x<\infty$ streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische Funktionen	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$
	$a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$	$a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei $x=0$
Wendestellen	$x=0$	keine

Spezielle Werte

$\sinh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}$ mit dem goldenen Schnitt $\Phi$

Uneigentliches Integral

Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\cosh x}}=\pi .$

Umkehrfunktionen

Der Sinus hyperbolicus bildet $\mathbb {R}$ bijektiv auf $\mathbb {R}$ ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall $[0,+\infty [$ bijektiv auf das Intervall $[1,+\infty [$ und lässt sich eingeschränkt auf $[0,+\infty [$ also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

$\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\$.

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\$.

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\end{aligned}}$

Stammfunktionen

${\begin{aligned}\int \sinh x\,\mathrm {d} x&=\cosh x+C\\\int \cosh x\,\mathrm {d} x&=\sinh x+C\end{aligned}}$

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)

$\cosh ^{2}x\!\;-\sinh ^{2}x=1$

$\cosh x\,\;+\sinh x\,\,=e^{x}$ (Eulersche Identität)

$\cosh x\,\;-\sinh x\,\,=e^{-x}$

$\cosh({\rm {arsinh}}(x))={\sqrt {x^{2}+1}}$

$\sinh({\rm {arcosh}}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$ (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme

${\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}$

insbesondere gilt für $y:=x$:

${\begin{aligned}\sinh 2x&=2\cdot \sinh x\cosh x\ \\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cdot \cosh ^{2}x-1=2\cdot \sinh ^{2}x+1\end{aligned}}$

und für $y:=2x$:

${\begin{aligned}\sinh 3x&=4\cdot \sinh ^{3}x+3\sinh x\ \\\cosh 3x&=4\cdot \cosh ^{3}x-3\cosh x\end{aligned}}$

Summenformeln

${\begin{aligned}\sinh x\pm \sinh y&=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}$

Potenzen

${\begin{aligned}\sinh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)-1{\Big )}\\\cosh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)+1{\Big )}\end{aligned}}$

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt $x=0$ lautet:

${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\dotsb \\\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb \end{aligned}}$

Produktentwicklungen

${\begin{aligned}&\sinh x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\cosh x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Multiplikationsformeln

Sei $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt für alle komplexen $z$:

${\begin{aligned}&\sinh z={\left({\frac {2}{i}}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sinh {\frac {z+k\,\pi \,i}{n}}\\&\cosh z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cosh {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,i}{n}}\end{aligned}}$

Komplexe Argumente

Mit $x,y\in \mathbb {R}$ gilt:

${\begin{aligned}\sinh(x+i\,y)&=\cos y\,\sinh x+i\sin y\,\cosh x\\\cosh(x+i\,y)&=\cos y\,\cosh x+i\sin y\,\sinh x\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\cosh y+i\cos x\,\sinh y\\\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\cosh y-i\sin x\,\sinh y\\\end{aligned}}$

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit $z=x+i\,y$ gilt

${\begin{aligned}\exp(iz)&=\cos(x+i\,y)+i\sin(x+i\,y)\\&=\exp(i\,(x+i\,y))\\&=\exp(i\,x)\,\exp(i\,(i\,y))\\&=(\cos x\,\cos(i\,y)-\sin x\,\sin(i\,y))+i\,(\cos x\,\sin(i\,y)+\sin x\,\cos(i\,y))\\&=(\cos x\,\cosh y-i\sin x\,\sinh y)+i\,(\sin x\,\cosh y+i\cos x\,\sinh y)\\\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

${\begin{aligned}\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\cosh y-i\sin x\,\sinh y\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\cosh y+i\cos x\,\sinh y\\\end{aligned}}$

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichung

Die Funktion

$f(x)=a\cdot \sinh x+b\cdot \cosh x$ mit $a,b\in \mathbb {R}$

löst die Differentialgleichung

$f''(x)-f(x)=0\$.

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation

Mit Hilfe der Rapidität $\lambda$ kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

$L={\begin{pmatrix}\cosh \lambda &-\sinh \lambda &0&0\\-\sinh \lambda &\cosh \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie

Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

$a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}$,

wobei

$t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}$

eine charakteristische Zeitskala ist. $H_{0}$ ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, $\Omega _{\Lambda ,0}$ der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

$\Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)$.

Siehe auch

• Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus
• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

Einzelnachweise

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus