Sporadische Gruppe
Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der (18) systematischen Familien mit unendlich vielen Mitgliedern (von endlichen einfachen Gruppen) einordnen lassen.
Entdeckungsgeschichte
Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den 1860er-Jahren entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.
Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen:
Einteilung
Im nebenstehenden Hasse-Diagramm bedeutet eine Linie von A unten nach B oben, dass A Subquotient von B ist.[1] Da die Relation transitiv ist, sind implizierte Verbindungen weggelassen, mit der Folge, dass es keinen anderen sporadischen Subquotienten zwischen A und B gibt.[2]
20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M, von Robert Griess Friendly Giant[3] (deutsch: freundlicher Riese) genannt. Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) zusammengefasst.[4] Letztere gliedert sich in drei Generationen, wobei die erste Generation (rot) mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite (grün) mit dem Leech-Gitter bzw. Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 bis Co3, J2, McL, HS. Die dritte Generation (blau) ist nahe verwandt mit M und enthält die übrigen Gruppen der Happy Family.
Die sechs sporadischen Gruppen, die nicht Subquotienten von M sind, sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die O’Nan-Gruppe O’N, die Rudvalisgruppe Ru und die Lyonsgruppe Ly. Sie werden bei Griess Parias (engl. pariah) genannt (in der untenstehenden Tabelle als Generation P).
Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits-Gruppe T = 2F4(2)′ der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen, weil sie nicht eine Gruppe vom Lie-Typ sei. Allerdings ist das Definiens für »nicht-sporadisch« bei endlichen einfachen Gruppen die »Zugehörigkeit zu einer unendlichen systematischen Familie« — was nicht unmittelbar mit der Eigenschaft »vom Lie-Typ« etwas zu tun hat, denn es gibt andere unendliche Familien endlicher einfacher Gruppen, z. B. die Gruppen von Primzahlordnung, die auch nicht vom Lie-Typ sind. Mit ihrer Zugehörigkeit zur unendlichen Familie der Ree-Gruppen 2F4(22n+1)′, deren Mitglieder 2F4(22n+1) für mit ihren Ableitungen übereinstimmen (somit tatsächlich vom Lie-Typ sind), ist sie im strengen Sinn keine sporadische Gruppe.[5] Sie ist Subquotient von Fi22 und Ru und würde demnach, wenn eingeordnet, zur dritten Generation der sporadischen Gruppen gehören.
Tabelle der 26 sporadischen Gruppen
Standardreihenfolge, erste Symbole, Entdeckungsjahr aus Hiss S. 172.
| Name | Symbole | Entdecker | Jahr | Generation | Ordnung (zirka) | Ordnung (als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS) |
Ordnung (in Primfaktorzerlegung) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mathieugruppe M11 | M11 | Mathieu | 1861 | 1 | 8e3 | 7.920 | 24·32·5·11 |
| Mathieugruppe M12 | M12 | Mathieu | 1861 | 1 | 1e5 | 95.040 | 26·33·5·11 |
| Mathieugruppe M22 | M22 | Mathieu | 1861 | 1 | 4e5 | 443.520 | 27·32·5·7·11 |
| Mathieugruppe M23 | M23 | Mathieu | 1861 | 1 | 1e7 | 10.200.960 | 27·32·5·7·11·23 |
| Mathieugruppe M24 | M24 | Mathieu | 1861 | 1 | 2e8 | 244.823.040 | 210·33·5·7·11·23 |
| Jankogruppe J1 | J1 | Janko | 1965 | P | 2e5 | 175.560 | 23·3·5·7·11·19 |
| Jankogruppe J2 | J2, HJ | Janko | 1968 | 2 | 6e5 | 604.800 | 27·33·52·7 |
| Jankogruppe J3 | J3 | Janko | 1968 | P | 5e7 | 50.232.960 | 27·35·5·17·19 |
| Jankogruppe J4 | J4 | Janko | 1976 | P | 9e19 | 86.775.571.046.077.562.880 | 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43 |
| Higman-Sims-Gruppe | HS | Higman, Sims | 1967 | 2 | 4e7 | 44.352.000 | 29·32·53·7·11 |
| McLaughlin-Gruppe | McL, Mc | McLaughlin | 1969 | 2 | 9e8 | 898.128.000 | 27·36·53·7·11 |
| Suzukigruppe | Suz | Suzuki | 1969 | 2 | 4e11 | 448.345.497.600 | 213·37·52·7·11·13 |
| Rudvalisgruppe | Ru | Rudvalis | 1972 | P | 1e11 | 145.926.144.000 | 214·33·53·7·13·29 |
| Heldgruppe | He | Held | 1969 | 3 | 4e9 | 4.030.387.200 | 210·33·52·73·17 |
| Lyonsgruppe | Ly | Lyons | 1972 | P | 5e16 | 51.765.179.004.000.000 | 28·37·56·7·11·31·37·67 |
| O’Nan-Gruppe | ON, O’N | O’Nan | 1976 | P | 4e11 | 460.815.505.920 | 29·34·5·73·11·19·31 |
| Conwaygruppe Co1 | Co1, C1 | Conway | 1969 | 2 | 4e18 | 4.157.776.806.543.360.000 | 221·39·54·72·11·13·23 |
| Conwaygruppe Co2 | Co2, C2 | Conway | 1969 | 2 | 4e13 | 42.305.421.312.000 | 218·36·53·7·11·23 |
| Conwaygruppe Co3 | Co3, C3 | Conway | 1969 | 2 | 5e11 | 495.766.656.000 | 210·37·53·7·11·23 |
| Fischer-Gruppe F22 | Fi22, M(22) | Fischer | 1971 | 3 | 6e13 | 64.561.751.654.400 | 217·39·52·7·11·13 |
| Fischergruppe F23 | Fi23, M(23) | Fischer | 1971 | 3 | 4e18 | 4.089.470.473.293.004.800 | 218·313·52·7·11·13·17·23 |
| Fischergruppe F24 | Fi24, F24′, M(24) | Fischer | 1971 | 3 | 1e24 | 1.255.205.709.190.661.721.292.800 | 221·316·52·73·11·13·17·23·29 |
| Harada-Norton-Gruppe | HN, F5 | Harada, Norton, Smith | 1976 | 3 | 3e14 | 273.030.912.000.000 | 214·36·56·7·11·19 |
| Thompsongruppe | Th, F3 | Thompson | 1976 | 3 | 9e16 | 90.745.943.887.872.000 | 215·310·53·72·13·19·31 |
| Baby-Monstergruppe | B, F2 | Fischer | 1973 | 3 | 4e33 | 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 | 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47 |
| Monstergruppe | M, F1 | Fischer, Griess | 1973 | 3 | 8e53 | 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 | 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 |
Literatur
- Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 1–102, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
- Robert Griess: Twelve Sporadic Groups. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-62778-4, doi:10.1007/978-3-662-03516-0.
- Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 105, Nr. 4, 2003, S. 169–194 (Online im DMV Jahresberichte-Archiv. [PDF]).
- John McKay: Finite Groups – Coming of Age. American Mathematical Society, 1985, ISBN 978-0-8218-5047-3.
- Michael Aschbacher: Sporadic Groups, Cambridge University Press 1994
Einzelnachweise
- ↑ zusammengestellt hauptsächlich aus Griess S. 94
- ↑ Es gibt jedoch sehr viele andere (nicht-sporadische) einfache Subquotienten einer sporadischen Gruppe, am unteren Ende auf jeden Fall die Gruppen von Primzahlordnung, aber auch alternierende Gruppen einer Ordnung ≥ 5 und einfache Gruppen vom Lie-Typ wie die Steinberg-Gruppe 2E6(22) (Beispiele in Wilsons Atlas).
Umgekehrt ist nach dem Satz von Cayley jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe genügend hohen Grades die ihrerseits unter Anhängen der Transposition an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe eingebettet werden kann. Damit ist jede sporadische Gruppe auch Subquotient einer (einfachen) alternierenden Gruppe. - ↑ F1 in Griess
- ↑ s. Griess
- ↑ Bei Hiss und Eric W. Weisstein „Sporadic Group“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource wird die Tits-Gruppe nicht unter den 26 aufgeführt.
Weblinks
- Robert Wilson’s Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups (englisch)
- Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen...) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)
