Stabilitätsfunktion

Die Stabilitätsfunktion ist in der Numerik ein Hilfsmittel, um Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen zu analysieren. Die einfache Testgleichung von Germund Dahlquist $y'(t)=\lambda y(t),\ y(0)=1$ mit $\lambda \in \mathbb {C}$ besitzt als Lösung die Exponentialfunktion $y(t)=e^{\lambda t}$. Bei den meisten Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen kann man die berechnete Näherungslösung nach einem Zeitschritt mit einer Schrittweite $h$ ebenfalls als eine Funktion schreiben, die nur vom Produkt $z=h\lambda \in \mathbb {C}$ abhängt. Diese Funktion ist die Stabilitätsfunktion und wird oft mit $R(z)$ bezeichnet. Durch einen Vergleich mit der Exponentialfunktion $e^{z}=e^{h\lambda }$ bekommt man grundlegende Informationen über das numerische Verfahren. So beziehen sich einige Stabilitätsbegriffe auf die Eigenschaften von $R(z)$.

Stabilitätsgebiet und Stabilitätsbegriffe

Mit Hilfe der Stabilitätsfunktion $R(z)$ lässt sich das Stabilitätsgebiet $S$ beschreiben und berechnen in der Form

$S=\{z\in \mathbb {C} :|R(z)|<1\}.$

Denn bei Einschrittverfahren gilt für die Näherungen $y_{n}$ zum Zeitpunkt $t_{n}=nh$ die Beziehung $y_{n}=R(z)y_{n-1}=\ldots =\left(R(z)\right)^{j}y_{n-j}=\ldots =\left(R(z)\right)^{n}y_{0}$ und daher gilt

$y_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}0\iff z\in S.$

Wenn $S$ die ganze linke komplexe Halbebene umfasst, heißt das Verfahren A-stabil. Dann ist der Betrag von $R$ in der ganzen offenen linken Halbebene kleiner als 1. Besonders günstig für ein Verfahren ist es, wenn $R(z)$ außerdem noch den Grenzwert 0 hat, wenn $z$ auf der reellen Achse gegen $-\infty$ strebt, sodass sich also der Betrag von $R(z)$ dort asymptotisch wie die Exponentialfunktion verhält. Dann heißt das Verfahren L-stabil.

Beispiel

Das explizite Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$ ergibt für die Testgleichung mit $f(t,y)=\lambda y$ nach einem Schritt

$y_{1}=y_{0}+h\lambda y_{0}=(1+h\lambda )y_{0}$,

also gilt für seine Stabilitätsfunktion $R(z)=1+z$. Sein Stabilitätsgebiet besteht daher aus allen komplexen Zahlen $z$ mit $|1+z|<1$, was dem Inneren des Kreises mit Mittelpunkt $-1$ und Radius $1$ in der komplexen Zahlenebene entspricht.

Für das implizite Euler-Verfahren $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1})$ folgt dagegen mit $f(t,y)=\lambda y$

$y_{1}=y_{0}+h\lambda y_{1}\iff y_{1}={\frac {1}{1-h\lambda }}y_{0}$,

also $R(z)={\frac {1}{1-z}}$. Das Stabilitätsgebiet ist nun durch die Bedingung $|{\tfrac {1}{1-z}}|<1$ gegeben, die mit

$|1-z|>1$

gleichwertig ist, was dem Äußeren des Kreises mit Mittelpunkt $1$ und Radius $1$ entspricht. Es enthält daher die ganze offene linke Halbebene und somit ist das implizite Euler-Verfahren A-stabil. Wegen $\lim _{z\to -\infty }{\frac {1}{1-z}}=0$ ist es sogar L-stabil.

Die Stabilitätsfunktion von Runge-Kutta-Verfahren

Runge-Kutta-Verfahren sind vollständig durch die Koeffizienten $A,b,c$ aus ihrem Butcher-Tableau festgelegt. Bei der Testgleichung ist der Anfangswert $y_{0}=1$ und für die Stufen ergibt sich im ersten Zeitschritt

$k_{i}=\lambda \left(1+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\dotsc ,s.$

Dies ist ein quadratisches lineares Gleichungssystem für den Vektor $k=(k_{1},\dotsc ,k_{s})^{T}$ in der Form $(I-zA)k=\lambda e$ mit dem Vektor $e=(1,\dotsc ,1)^{T}.$ Mit dessen Lösung bekommt man dann die Runge-Kutta-Näherung $y_{1}\approx y(h)$ in der Form

$y_{1}=y_{0}+h\sum _{j=1}^{s}b_{j}k_{j}=1+hb^{T}k=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e=:R(z).$

Dies ist bei Runge-Kutta-Verfahren eine rationale Funktion, daher wird sie gerne mit $R(z)$ bezeichnet.

Bei expliziten Runge-Kutta-Verfahren ist die Koeffizientenmatrix $A$ eine strikt untere Dreiecksmatrix, daher bricht die Neumann-Reihe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (I-zA)^{-1}} nach sFehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle } Summanden ab und man bekommt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(z)=1+zb^T(I-zA)^{-1}e=1+zb^T e+z^2b^TAe+\dotsb+z^sb^TA^{s-1}e.}

Daher ist die Stabilitätsfunktion eines expliziten Runge-Kutta-Verfahrens ein Polynom, solche Verfahren können nicht A-stabil sein.

Bei impliziten Runge-Kutta-Verfahren sind aber z. B. die Gauß-Legendre-Verfahren A-stabil. Die Stabilitätsfunktionen dieser speziellen Verfahren sind sogar sehr gute Approximationen an die Exponentialfunktion, nämlich die sogenannten Padé-Approximationen.

Die Stabilitätsfunktion von Mehrschrittverfahren

Wendet man ein lineares Mehrschrittverfahren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=0}^m\alpha_jy_{n-j}=h\sum_{j=0}^m\beta_jf(y_{n-j})} auf die Testgleichung an, ergibt sich wieder mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=h\lambda} die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=0}^m\alpha_jy_{n-j}-z\sum_{j=0}^m\beta_jy_{n-j}=\sum_{j=0}^m(\alpha_j-z\beta_j)y_{n-j}=0.}

Dies ist eine lineare Differenzengleichung, die man einfach lösen kann. Denn die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_n=u^n} ist eine nichttriviale Lösung dieser Differenzengleichung, wenn u eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\stackrel!=\sum_{j=0}^m\alpha_ju^{m-j}-z\sum_{j=0}^m\beta_ju^{m-j}=\varrho(u)-z\sigma(u)}

ist, wobei man die Polynome

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varrho(u)=\sum_{j=0}^m\alpha_ju^{m-j}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(u)=\sum_{j=0}^m\beta_ju^{m-j}}

eingeführt hat. Also bekommt man mit den von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} abhängenden Nullstellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} des Polynoms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varrho(u)-z\sigma(u)} die Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^n} zur Testgleichung und daher liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} im Stabilitätsgebiet des Verfahrens, wenn alle diese Lösungen gegen 0 gehen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\to\infty} . Daher kann man die betragsmaximale Nullstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |u(z)|} als Stabilitätsfunktion des Verfahrens ansehen.

Stabilitätsgebiet für das 6-stufige BDF-Verfahren

Diese Interpretation erscheint sehr unhandlich. Allerdings interessiert man sich oft weniger für die Stabilitätsfunktion, sondern für das Stabilitätsgebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} . Der Rand dieses Gebietes besteht aus denjenigen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\in\Complex} , bei dem für die Nullstellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |u|=1} gilt, wo die Nullstellen also auf dem komplexen Einheitskreis liegen. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varrho(u)-z\sigma(u)=0\Leftarrow z=\varrho(u)/\sigma(u)} gilt, ist die Bestimmung des Stabilitätsgebiets bei Mehrschrittverfahren sogar besonders einfach, denn seinen Rand erhält man i. W. explizit durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial S=\Big\{\frac{\varrho(u)}{\sigma(u)}:\, |u|=1\Big\}=\Big\{\frac{\varrho(e^{i\varphi})}{\sigma(e^{i\varphi})}:\,\varphi\in[0,2\pi)\Big\}.}

Als Beispiel wird das Stabilitätsgebiet für das 6-stufige BDF-Verfahren gezeigt.

Die Stabilitätsfunktion von allgemeinen linearen Verfahren

Obwohl auch Mehrschrittverfahren in der Gestalt von allgemeinen linearen Verfahren geschrieben werden können, ist die Struktur ähnlich derjenigen der Runge-Kutta-Verfahren weiter oben. Daher bekommt man ein ähnliches Ergebnis. Für den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} der Stufenlösungen gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=zAY+Uy^{[n-1]}\quad \Rightarrow Y=(I-zA)^{-1}Uy^{[n-1]}}

und der Zeitschritt wird daher zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^{[n]}=zBY+Vy^{[n-1]}=(V+zB(I-zA)^{-1}U\big)y^{[n-1]}.}

In jedem Zeitschritt erfolgt also die Multiplikation mit derselben Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(z)=V+zB(I-zA)^{-1}U.}

Es gilt daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^{[n]}=M(z)^ny^{[0]}\to0\,(n\to\infty)} , wenn die Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(z)} gegen 0 gehen, also alle Eigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(z)} innerhalb des komplexen Einheitskreises liegen. Daher kann man hier den Spektralradius von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(z)} als Stabilitätsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(z)} in der Definition des Stabilitätsgebiets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ansehen.

Weitergehende Bedeutung für lineare Systeme

Die obige Testgleichung von Dahlquist ist sehr einfach, hat aber eine weitergehende Bedeutung für Systeme von linearen, autonomen und homogenen Differentialgleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y'(t)=Q y(t),\quad y(0)=y_0,\quad Q\in\R^{d\times d}.}

Die exakte Lösung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t)=e^{tQ}y_0} mit dem Matrixexponential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{tQ}} . Die numerische Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_n} kann man jetzt mit der Matrix-Stabilitätsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(tQ)} darstellen. Wenn dabei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J=P^{-1}QP} die Jordan-Normalform von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q \ (=PJP^{-1})} ist, gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_n=\big(R(hQ)\big)^ny_0=P\big(R(hJ)\big)^nP^{-1}y_0.}

Bei einer diagonalisierbaren Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} ist, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(hJ)} eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(h\lambda_j)} . Wenn für alle Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_j} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\lambda_j\in S} ist, dann konvergiert auch hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_n\to 0\,(n\to\infty)} . Bei dieser Differentialgleichung sieht man gleichzeitig, dass es sinnvoll ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} als offene Menge zu definieren. Denn im diagonalisierbaren Fall bleiben zwar Lösungen auf dem Rand mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\lambda_j\in\partial S} noch beschränkt, aber im Allgemeinen nicht mehr, wenn mehrfache Eigenwerte mit Jordanblöcken auftreten.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems. Springer Verlag.
• K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.