Stabilitätsgebiet

In der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das Stabilitätsgebiet eines Verfahrens zur Lösung eines Anfangswertproblems definiert als die Menge der komplexen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=\lambda h} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda\in\mathbb{C}} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Re(\lambda )<0} , für die das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y'=\lambda y, \quad Re(\lambda) < 0, }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t_0)=y_0}

bei fester Schrittweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das numerische Verfahren für diese Gleichung und diese Schrittweite stabil ist.

Mit Hilfe der Stabilitätsfunktion eines Verfahrens

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S: \Complex \longrightarrow \Complex} mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{N}=S(\lambda h)^{N}y_{0}}

ist das Stabilitätsgebiet daher gegeben durch:

$\{z\in \mathbb {C} \ |\ |S(z)|<1\}$

Besonders interessant ist der Fall, wenn das Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene enthält, dann heißt das Verfahren A-stabil.

Beispiele

Für das explizite Euler-Verfahren: $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$, mit Stabilitätsfunktion: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle S(z)=z+1} , liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \in \Complex} im Stabilitätsgebiet falls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z+1| < 1 \Leftrightarrow |z+1|^2 < 1 \Leftrightarrow z \in \{\xi=(x+iy) \in \Complex \ | \ (x+1)^2 + y^2 < 1 \}}

womit das Stabilitätsgebiet allen Punkten im Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} und Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}  in der komplexen Zahlenebene entspricht. Dieses Stabilitätsgebiet ist (wie auch jenes anderer expliziter Verfahren) beschränkt. Daher wird man, auch wenn dies die Genauigkeit gar nicht verlangen würde, zu einer Einschränkung der Schrittweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} gezwungen. Dies hat zur Folge, dass implizite Verfahren beim Lösen steifer Differentialgleichungen bevorzugt werden.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag