Sterntetraeder

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Sterntetraeder
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Im Würfel sind zwei Tetraeder zu finden, die zum Sterntetraeder verschmelzen.

Das Sterntetraeder, auch bekannt als Sternkörper zum Oktaeder, als Stella Octangula und als Keplerstern, ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder entsteht. Das Sterntetraeder ist kein Sternkörper, weil nicht in allen Ecken gleich viele Flächen zusammentreffen.

Benannt durch Johannes Kepler im Jahr 1609, ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte Polyeder als auch das einfachste nicht-konvexe gleichmäßige Polyeder. Erstmals dargestellt wurde er durch Leonardo da Vinci in Luca Paciolis De Divina Proportione 1509.

Der Grafiker M. C. Escher hat das Sterntetraeder als Motiv für das Bild Doppelplanetoid verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt.[1]

Eigenschaften

Die äußeren Eckpunkte des Körpers beschreiben einen Würfel, während die Schnittmenge der beiden Tetraeder ein Oktaeder darstellt, dessen Kanten wiederum die Innenkanten des Sterntetraeders darstellen.

Das Sterntetraeder ist die erste Stufe der konvexen Form des Sierpinski-Oktaeders.[2] Aus den acht kleinen Tetraedern können wieder Sterntetraeder gemacht werden, und dieser Vorgang kann wiederholt werden, so dass schließlich ein Fraktal entsteht, welches sich der Form eines Hexaeders annähert.[3][4]

Das Sterntetraeder kann als dreidimensionales Hexagramm angesehen werden: Das Hexagramm ist eine zweidimensionale Figur, die aus zwei überlappenden gleichseitigen Dreiecken gebildet wird, die punktsymmetrisch zueinander sind. Auf ähnliche Weise kann das Sterntetraeder aus zwei punktsymmetrisch überlappenden regelmäßigen Tetraedern gebildet werden. Dies kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden. Die vierdimensionale äquivalente Konstruktion ist die Verbindung von zwei Pentachorons.

Das Sterntetraeder kann auch als Iterationsschritt beim Erzeugen einer dreidimensionalen „Koch-Kurve“ angesehen werden. Das ist ein Fraktals, das durch wiederholtes Hinzufügen kleinerer Tetraeder an jeder dreieckigen Fläche einer größeren Figur gebildet wird. Der Iterationsschritt 0 der dreidimensionalen „Koch-Kurve“ ist ein einzelnes Tetraeder, und der Iterationsschritt 1, der durch Hinzufügen von vier kleineren Tetraedern an die Flächen des zentralen Tetraeders gebildet wird, ist das Sterntetraeder.

Formeln

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Körpernetz eines Sterntetraeders
Größen eines Sterntetraeders mit Kantenlänge a bzw. b = a/2
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Oberflächeninhalt
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Kantenkugelradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_k = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}}
Inkugelradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_i = \frac{a}{2\cdot\sqrt{6}} = \frac{b}{\sqrt{6}}}
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Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks
Winkel zwischen benachbarten Flächen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \arccos \left( -\frac{1}{3}\right) }   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \approx 109^\circ\; 28^\prime \; 16^{\prime\prime}}
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Raumwinkel in den Ecken Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega = \arccos \left(\frac{23}{27} \right) \approx 0{,}5512856\; \mathrm{sr}}
Sphärizität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi = \sqrt [3] { \frac{\pi}{9\sqrt{3}} } \approx 0{,}586 }
  • Das Volumen des Sterntetraeders ist gleich der Summe der Volumina von einem Oktaeder und 8 aufgesetzten Tetraedern mit jeweils halber Kantenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{2}} . Es füllt den umgrenzenden Würfel mit dem Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a^3}{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot b^3 \cdot \sqrt{2}} zur Hälfte aus.
  • Der Umkugelradius des Sterntetraeders entspricht dem eines einzelnen Tetraeders.

Anwendung in der Kunst

  • Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha

  • Weitere Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche

  • Abtei Jovilliers (Stainville, Lothringen)

Weblinks

Commons: Sterntetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. ↑ M. C. Escher: Double Planetoid.
  2. ↑ Keplerian Fractals (Memento vom 16. März 2015 im Internet Archive)
  3. ↑ Approaching a Fractal Cube by a series of non-convex polyhedra
  4. ↑ Keplerian Fractals
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