Stetigkeitssatz von Lévy

Der Stetigkeitssatz von Lévy, teils auch nur kurz Stetigkeitssatz genannt, ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt eine Verbindung zwischen der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und der punktweisen Konvergenz der entsprechenden charakteristischen Funktionen her. Anwendung findet der Satz beispielsweise als Hilfsmittel bei dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes. Er ist nach Paul Lévy benannt.

Vorbemerkung

Der Stetigkeitssatz existiert in mehreren Varianten:

• Teils wird er nur für Wahrscheinlichkeitsmaße in $\mathbb {R}$ formuliert, teils für Wahrscheinlichkeitsmaße in $\mathbb {R} ^{d}$.
• Teils wird der schwache Grenzwert der Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und die entsprechende charakteristischen Funktionen als existent vorausgesetzt. Diese Formulierungen werden in diesem Artikel als spezielle Formulierung bezeichnet. Die allgemeinen Formulierungen zeigen dann die Existenz eines Grenzwertes und der charakteristischen Funktion.

Eindimensionaler Fall

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße $P,P_{1},P_{2},P_{3},\dots$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ und $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2},\Phi _{3},\dots$ die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall

Es ist äquivalent:

• Die Folge $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert schwach gegen $P$
• Die Folge $(\Phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen $\Phi$.

Allgemeiner Fall

Es ist äquivalent:

• Die Folge $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert schwach
• Die Folge $(\Phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen eine in 0 stetige Funktion $f$

Dann ist die Funktion $f$ die charakteristische Funktion des schwachen Grenzwertes von $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Das heißt, es gilt

$w{\text{-}}\!\lim _{n\to \infty }P_{n}=Q$

und $\Phi _{Q}=f$.

Höherdimensionaler Fall

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße $P,P_{1},P_{2},P_{3},\dots$ auf $(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))$ und $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2},\Phi _{3},\dots$ die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall

Analog zum eindimensionalen Fall ist äquivalent:

• Die Folge $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert schwach gegen $P$
• Die Folge $(\Phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen $\Phi$.

Allgemeiner Fall

Eine Funktion

$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$

heißt partiell stetig in $x'$, wenn für alle $j=1,\dots ,d$ die Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_j \mapsto f(x_1, \dots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \dots , x_d) }

stetig in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_j=x'_j } sind.

Der Stetigkeitssatz lautet nun:

• Konvergieren die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_n } punktweise gegen eine in 0 partiell stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } , so ist diese Funktion die charakteristische Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f=\Phi_Q } eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q } und es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w\text{-}\!\lim_{n \to \infty} P_n =Q} .

• Konvergiert umgekehrt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (P_n)_{n \in \N} } schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } , so konvergieren die charakteristischen Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_P } .

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.