Schwache Konvergenz (Maßtheorie)

Die schwache Konvergenz ist ein Begriff der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Die schwache Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff für endliche Maße und enthält als Spezialfall die Konvergenz in Verteilung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Abwandlung für Maße auf Funktionenräumen ist die fdd-Konvergenz.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und ${\mathcal {B}}(X)$ die Borelsche σ-Algebra sowie ${\mathcal {M}}_{f}^{+}(X)$ die Menge der endlichen Maße auf dem Messraum $(X,{\mathcal {B}}(X))$. Seien $\mu ,\mu _{n}$ aus ${\mathcal {M}}_{f}^{+}(X)$. Ist

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f\mathrm {d} \mu _{n}=\int _{X}f\mathrm {d} \mu$

für alle beschränkten stetigen Funktionen $f$, so heißt $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach konvergent gegen $\mu$. Man schreibt dann auch $\mu _{n}\rightarrow \mu$ schwach, $\mu _{n}{\xrightarrow[{}]{w}}\mu$ oder $\mu =w{\text{-}}\!\lim _{n\to \infty }\mu _{n}$. Das „w“ steht hier für „weakly“.

Motivation zur Definition

Intuitiv würde man von einer Folge von Maßen $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sagen, dass sie gegen $\mu$ konvergiert, wenn

$\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)=\mu (A)$

für jede Menge $A$ aus der betrachteten σ-Algebra gilt. Setzt man nun aber beispielsweise auf dem Messraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ als Folge von Maßen

$\mu _{n}(A)=\delta _{\tfrac {1}{n}}(A)$

die Dirac-Maße jeweils im Punkt ${\tfrac {1}{n}}$, so würde man „intuitiv“ erwarten, dass die Folge gegen $\delta _{0}$, das Dirac-Maß im Punkt $0$, konvergiert. Dies ist aber nicht der Fall, wie man beispielsweise an der Menge $A=(-\infty ,0]$ erkennt, denn es ist

$\lim _{n\to \infty }\delta _{\tfrac {1}{n}}(A)=0\neq \delta _{0}(A)=1$.

Der Konvergenzbegriff ist also zu stark. Eine äquivalente Formulierung des obigen, intuitiven Konvergenzbegriffes für Folgen von Maßen ist

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f\mathrm {d} \mu _{n}=\int _{X}f\mathrm {d} \mu$

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in \mathcal L^\infty(X, \mathcal B(X), \mu ) } , also die wesentlich beschränkten Funktionen. Ausgehend von dieser Charakterisierung sucht man nun schwächere Funktionsklassen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } und Mengen von Maßen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M } , so dass die obige Gleichung für diese Wahl noch gilt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } außerdem eine trennende Familie für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M } ist. Es soll also zusätzlich noch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_X f \mathrm d \mu = \int_X f \mathrm d \nu \text{ für alle } f \in \mathcal F \implies \mu=\nu }

gelten. Dies garantiert die Eindeutigkeit des Grenzwertes. Wählt man nun als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M } die endlichen Maße und als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } die beschränkten stetigen Funktionen, so erhält man die hier beschriebene schwache Konvergenz. Eine andere Wahl der Funktionenklassen und Mengen von Maßen liefert beispielsweise die vage Konvergenz oder die Konvergenz in Verteilung der Stochastik.

Beziehung zu weiteren Konvergenzarten

Beziehung zur Konvergenz bezüglich der Totalvariationsnorm

Betrachtet man die Menge der endlichen Maße als Teilmenge des Vektorraumes der endlichen signierten Maße versehen mit der Totalvariationsnorm als Norm, so lassen sich die Konvergenz bezüglich der Totalvariationsnorm und die schwache Konvergenz in Beziehung setzen. Aus der Konvergenz bezüglich der Totalvariationsnorm folgt dann immer die schwache Konvergenz, denn es ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\int f \mathrm d \mu_n - \int f \mathrm d \mu \right| \leq \int |f| \mathrm d |\mu_n - \mu| \leq \|f\|_\infty \|\mu_n - \mu\|_{TV}}

für alle beschränkten stetigen Funktionen. Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\mu | } die Variation und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\mu\|_{TV} } die Totalvariationsnorm des Maßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu } .

Beziehung zur Konvergenz nach Maß

Die Konvergenz nach Maß und die schwache Konvergenz lassen sich über die Konvergenz der Bildmaße verknüpfen: Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n, f } messbare Funktionen von einem endlichen Maßraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X, \mathcal A, \mu) } in einen separablen metrischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y,d)} mit der entsprechenden borelschen σ-Algebra, und konvergieren die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n } nach Maß gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } , so konvergieren auf dem Messraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y, \mathcal B(Y)) } die Bildmaße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n(\mu) } schwach gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\mu) } .

Wichtige Sätze und Aussagen

• Das Portmanteau-Theorem zählt verschiedene äquivalente Charakterisierungen der schwache Konvergenz von Maßen auf.
• Nach dem Satz von Helly-Bray ist eine Folge von reellen endlichen Maßen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\R, \mathcal B ( \R)) } schwach konvergent, wenn die Verteilungsfunktionen schwach konvergieren.
• Allgemein folgt aus der Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik die schwache Konvergenz. Ist der Grundraum ein separabler Raum, so sind die beiden Konvergenzarten äquivalent.
• Die schwache Konvergenz erhält das Maß der Grundmenge. Dazu setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\equiv 1 } in der Definition. Somit sind schwache Grenzwerte von Folgen von (Sub-)Wahrscheinlichkeitsmaßen wieder (Sub-)Wahrscheinlichkeitsmaße.

Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V } (hier den Raum der signierten Maße, versehen mit der Totalvariationsnorm) bildet man den topologischen Dualraum

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V':= \{T \; | \; T \colon V \to \mathbb K \text{ ist linear und stetig }\} } .

Eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_n)_{n \in N} } in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V } heißt dann schwach konvergent gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in V } , wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}T(x_n)=T(x) \text{ für alle } T \in V' }

ist. In konkreten Fall wäre dies äquivalent dazu, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mu_n)_{n \in \N} } beschränkt ist und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\mu_n(A)=\mu(A) }

für alle messbaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } . Wie oben aber bereits gezeigt wurde, ist dies im Allgemeinen falsch, nach dem Portmanteau-Theorem gilt es nur für randlose Mengen. Somit ist die hier beschrieben schwache Konvergenz echt schwächer als die schwache Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis.

Tatsächlich entspricht das Konzept der schwachen Konvergenz von Maßen viel eher der Schwach-*-Konvergenz als der schwachen Konvergenz. Dabei geht man wieder von einem normierten Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V } aus (diesmal der Raum der stetigen beschränkten Funktionen, versehen mit der Supremumsnorm) und dem topologischen Dualraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V' } . Eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T_n)_{n \in \N} } aus dem Dualraum heißt dann schwach-*-Konvergent gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T } , wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}T_n(x)=T(x) \text{ für alle } x \in V} .

Da aber in diesem konkreten Fall jedes endliche Maß für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in C_b(X) } durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \mapsto \int f \mathrm d \mu }

eine stetige Linearform bildet, sind die endlichen Maße auf jeden Fall eine Teilmenge des Dualraumes und die schwache Konvergenz von Maßen ist eine Abwandlung der schwach-*-Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis.

Schwache Topologie

Die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_S } wird die schwache Topologie genannt, auch wenn sie gemäß der obigen Ausführung eher der Schwach-*-Topologie entspricht. Sie ist die gröbste Topologie, so dass alle Abbildungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M_f^+(X) \to \R }

definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu \mapsto \int f \mathrm d \mu \text{ für ein } f \in C_b(X) }

stetig sind. Entsprechend den obigen Eigenschaften ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_S } schwächer als die von dem Totalvariationsabstand erzeugte Topologie. Auch ist sie auf beliebigen metrischen Räumen schwächer als die von der Prochorow-Metrik erzeugte Topologie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_P } . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } ein separabler metrischer Raum, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_S } äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_P } , da dann die schwache Konvergenz und die Konvergenz bezüglich der Prochorow-Metrik äquivalent sind. Demnach metrisiert in diesem Fall die Prochorow-Metrik die schwache Konvergenz.

Außerdem ist sie hausdorffsch, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \mathcal M_f^+(X), \tau_S) } ist ein Hausdorff-Raum. Eine Umgebungsbasis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_0 \in \mathcal M_f^+(X)} wird gebildet von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\epsilon; f_1, \dots, f_n}(\mu_0)=\{\mu \in \mathcal M_f^+(X) \, | \, \left|\int f_j \mathrm d \mu- \int f_j \mathrm d \mu_0\right| < \epsilon \text{ für alle } i=1, \dots, n \}} ,

wobei die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i \in C_b(X) } sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.