Stieltjes-Konstanten
Die Stieltjes-Konstanten sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_n := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n k}{k} - \frac{\log^{n+1} N}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc }
definiert sind, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_0} die Eulersche Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} ist. Es wird vermutet, dass die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_n} irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n }
und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int\limits_0^{\infty}\frac{\log^2 x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x = (\log2) \, \big(\frac{1}{3}\log^2 2 + \zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1\big) = 1{,}121192486\dots}
Sie hängen eng mit den Zahlen
zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \tau _{0}=\log 2}
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \tau _{n}={\frac {\log ^{n+1}2}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}\log ^{n-k}2\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc }
und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_n = -\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}B_{n+1-k}\log^{n-k}2 \cdot \tau_k, \quad n = 0, 1, 2, \dotsc }
Aus der Rekursion ergibt sich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} die Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_1 = \tfrac12\log^2 2 - \gamma\log2} , d. h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = \frac{1}{2}\log2 + \frac1{\log2}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log k}{k} = \frac{1}{2}\log2 + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log_2 k}{k}, }
die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.
Die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_n} zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln |\gamma_n| }{n} = \ln \ln n}
gilt.
Numerische Werte
| n | Dezimalentwicklung von γn | OEIS |
|---|---|---|
| 0 | 0,577215664901532860606512090082 … | A001620 |
| 1 | −0,0728158454836767248605863758749 … | A082633 |
| 2 | −0,00969036319287231848453038603521 … | A086279 |
| 3 | 0,00205383442030334586616004654275 … | A086280 |
| 4 | 0,00232537006546730005746817017752 … | A086281 |
| 5 | 0,000793323817301062701753334877444 … | A086282 |
| 6 | −0,000238769345430199609872421841908 … | A183141 |
| 7 | −0,000527289567057751046074097505478 … | A183167 |
| 8 | −0,000352123353803039509602052165001 … | A183206 |
| 9 | −0,000034394774418088048177914623798 … | A184853 |
| 10 | 0,000205332814909064794683722289237 … | A184854 |
Verallgemeinerung
Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_n(a) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n(k+a)}{k+a} - \frac{\log^{n+1} (N+a)}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc }
Literatur
- Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. In: Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
- Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386.
