Streng nicht-palindromische Zahl

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl $n$, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis $b$ im Bereich $2\leq b\leq n-2$ liegt.

Die obere Grenze $n-2$ für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

• jede Zahl $n$ (größer 1) zu jeder Basis $b>n$ als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
• jede Zahl $n$ (größer 2) zur Basis $n$ als $10$, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
• jede Zahl $n$ (größer 3) zur Basis $n-1$ als $11$ (palindromisch) geschrieben wird.

Für $n\leq 3$ ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

• zur Basis zwei: 110,
• zur Basis drei: 20 und
• zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …

Eigenschaften

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl $n>6$ kann also eine Basis gefunden werden, zu der $n$ palindromisch ist.

Beweis

1. Wenn $n$ gerade ist, dann wird $n$ zur Basis ${\tfrac {n}{2}}-1$ als 22 (palindromisch) geschrieben.
2. Anderenfalls ist $n$ ungerade und lässt sich als $n=p\cdot m$ schreiben, wobei $p$ der kleinste Primfaktor von $n$ ist. Verständlicherweise ist dann $p\leq m$.

• Ist dann $p=m=3$, so ist $n=9$, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
• Ist dann $p=m>3$, so wird $n$ zur Basis $p-1$ als 121 (palindromisch) geschrieben.

Anderenfalls ist $p<m-1$. Der Fall $p=m-1$ kann nicht eintreten, da sowohl $p$ als auch $m$ ungerade sind.

In diesem Fall wird $n$ als die zweistellige Zahl ${\rm {pp}}$ (palindromisch) zur Basis $m-1$ geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis $b$ im Bereich $2\leq b\leq n-2$.