Striktes Gleichgewicht

In der Spieltheorie bezeichnet man, gegeben ein Spiel in Normalform, als striktes Gleichgewicht ein Strategiepaar, das die Voraussetzung erfüllt, dass beide Strategien jeweils strikt beste Antworten aufeinander sind. Gemäß dem strikten Gleichgewicht verliert jeder Spieler, wenn er als einziger von seiner Gleichgewichtsstrategie abweicht.^[1] Besteht ein Nash-Gleichgewicht nur aus dominanten Strategien, bezeichnet man es zusätzlich als striktes Gleichgewicht. Dies bedeutet, dass Spieler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} seine Auszahlung durch ein einseitiges Abweichen nicht verbessern kann. Ein striktes Nash-Gleichgewicht zeichnet sich damit dadurch aus, dass sich kein Spieler durch eine einseitige Änderung seiner Strategie verbessern kann. Das Konzept des strikten Nash-Gleichgewichts stammt von John Harsanyi.

Definition

Bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1} den Strategieraum von Spieler 1 und $S_{2}$ den Strategieraum von Spieler 2 und $u_{1}$ die Auszahlungsfunktion von Spieler 1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_2} die Auszahlungsfunktion von Spieler 2, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (s,t)} ein striktes Gleichgewicht, wenn gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}u_1(s,t) > u_1(s',t) &\quad\forall\ s' \in S_1, s \ne s'\\ u_2(t,s) > u_2(t',s) &\quad\forall\ t' \in S_2, t \ne t'\end{align}} .

Striktes Nash-Gleichgewicht

Ein Merkmal des strikten Gleichgewichts ist, dass jeder Spieler verliert, wenn er als einziger von seiner Gleichgewichtsstrategie abweicht (siehe Nash-Gleichgewicht). Es bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma_i} die Menge der Strategien (Handlungsalternativen) des $i$ -ten Spielers und $\Sigma :=\Sigma _{1}\times \dotsb \times \Sigma _{n}$ das kartesische Produkt dieser Strategienmengen.

Unter einem Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien versteht man ein Strategieprofil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^* = (\sigma_1^*,\dotsc,\sigma_n^*) \in \Sigma} , bei dem die Strategie jedes Spielers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} eine beste Antwort auf die gewählten Strategien der anderen Spieler ist. Wenn alle anderen Spieler an ihren gewählten Strategien festhalten, so ist das Nash-Gleichgewicht bei reinen Strategien formal dadurch gekennzeichnet, dass es für Spieler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} also kein $\sigma _{i}\neq \sigma _{i}^{*}$ gibt, das dem Spieler $i$ eine höhere Auszahlung verspricht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall \sigma_i \in \Sigma_i: u_i(\sigma_1^*,\dotsc,\sigma_i^*,\dotsc, \sigma_n^*) > u_i(\sigma_1^*,\dotsc,\sigma_i,\dotsc, \sigma_n^*) } .