Das Subdifferential ist eine Verallgemeinerung des Gradienten auf nicht differenzierbare konvexe Funktionen. Das Subdifferential spielt eine wichtige Rolle in der konvexen Analysis sowie der konvexen Optimierung.
Definition
Sei eine konvexe Funktion. Ein Vektor heißt Subgradient von an der Stelle , wenn für alle gilt[1]
- ,
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
Das Subdifferential ist die Menge aller Subgradienten von im Punkt .[2]
Anschauung
Subgradienten einer konvexen Funktion
Intuitiv bedeutet diese Definition für , dass der Graph der Funktion überall über der Geraden
liegt, die durch den Punkt geht und die Steigung besitzt:
Da die Normalengleichung von gerade
ist, ist die Normale an also
Im allgemeinen Fall liegt über der Hyperebenen, die durch den Fußpunkt und die Normale gegeben ist.
Wegen des Trennungssatzes ist das Subdifferential einer stetigen konvexen Funktion überall nicht leer.
Beispiel
Das Subdifferential der Funktion , ist gegeben durch:
Beschränktheit
Sei stetig und sei beschränkt. Dann ist
die Menge beschränkt.
Beweis
Sei stetig und sei beschränkt. Setze
wobei .
Angenommen ist nicht beschränkt, dann gibt es für
ein und ein mit .
Sei . Somit sind . Wir erhalten die Abschätzung
- .
ist also kein Subgradient. Das ist ein Widerspruch.
Differenzierbarkeit
Ist die Funktion differenzierbar in , so gilt:
Siehe [3] für einen Beweis.
Zudem gilt: Ist das Subdifferential einelementig, so ist an der Stelle differenzierbar[4]
Literatur