Teleskopsumme

Zusammenschieben eines Teleskops – Namensgeber der Teleskopsumme

Datei:Englisches Marineteleskop von Karl Friedrich Neumann, item 2.jpg

Ein zusammenschiebbares Teleskop

Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren einer Summe. Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrerer zylindrischer Rohre.

Falls $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\,$ eine Folge ist, so ist

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eine Teleskopsumme. Kann man eine Summe als Teleskopsumme schreiben, vereinfacht sich ihre Auswertung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}} .

Eine Reihe, deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty(a_i-a_{i+1})}

ist genau dann konvergent, wenn $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\,$ gegen einen Grenzwert $g\,$ konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich $a_{1}-g\,$.

Analoges gilt für ein Produkt:

$\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}$

ist sozusagen ein Teleskopprodukt.

Komplizierter ist die Situation, wenn das Teleskop über drei (oder auch mehr) aufeinanderfolgende Glieder läuft (siehe Beispiel).

In der Zahlentheorie stellen Teleskopsummen ein wichtiges Hilfsmittel dar.

Beispiele

• endliche geometrische Reihe:

  $(x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{k})=x^{n+1}-1.$

• Teleskopsummen sind oft ein wenig versteckt und lassen sich beispielsweise durch Partialbruchzerlegung erkennen. Die Partialbruchzerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac1{k(k+1)}} erhält man beispielsweise mittels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac1{k(k+1)} =\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}} .

Daraus folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}.}

• dreifache Teleskopsumme:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} (x-1)^2\sum_{k=1}^n kx^{k-1} &= \sum_{k=1}^n(kx^{k+1} - 2kx^k + kx^{k-1}) = \sum_{k=1}^n [kx^{k+1}-(k-1)x^k] - \sum_{k=1}^n [(k+1)x^k-kx^{k-1}] \\ &= nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1. \end{align}}

Alternativ folgt dies für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\neq1} durch Differentiation aus dem ersten Beispiel mit Hilfe der Quotientenregel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^n x^k = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1}-1)}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} } .

Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel der Differentialrechnung als Kalkül bei der Termumformung.

Literatur

• Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 1. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 31–32 (Auszug in der Google-Buchsuche).
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Band 1. 6. Auflage, unveränderter Nachdruck der 5. durchgesehenen Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 91, 94, 194.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe – Lern- und Lehrmaterialien

• Telescoping Sum auf PlanetMath
• Po-Shen Loh: Telescoping Sums and Products (PDF; 66 kB) – Beispiele von Teleskopsummen und Teleskopprodukten
• Philippe B. Laval: Telescoping Sums (PDF; 95,1 kB) – Herleitung eines allgemeinen Satzes für Teleskopsummen der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot(n+k)}}