Temperaturkoeffizient

Ein Temperaturkoeffizient (Temperaturbeiwert) beschreibt die relative Änderung einer jeweils bestimmten physikalischen Größe bei Änderung der Temperatur gegenüber einer festgelegten Referenztemperatur. Die interessierende Größe ist meist, aber nicht immer eine Materialeigenschaft.

Temperaturkoeffizienten werden für verschiedene Größen wie beispielsweise die Länge, das Volumen (siehe Ausdehnungskoeffizient), den Druck, den elektrischen Widerstand oder die Spannung an einer Halbleiterdiode betrachtet. Ein mehr oder weniger linearer Zusammenhang der jeweiligen Größe mit der Temperatur, also ein annähernd konstanter Temperaturkoeffizient, liegt im Allgemeinen nur in einem begrenzten Temperaturbereich vor.

Grundlagen

Ist die interessierende Größe $\xi$ hysteresefrei und ohne Sprungstellen von der Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} abhängig, also eindeutig, kann ihre Temperaturabhängigkeit ausgehend von der Referenztemperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} beschrieben werden. Im einfachsten Fall genügt eine Näherungsfunktion mit einem einzigen Temperaturkoeffizienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi(T) = \xi(T_0) \cdot \left[1 + \alpha_{T_0} \cdot \left(T - T_0\right)\right]}

Als Bezugstemperatur wird oft 20 °C gewählt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi(T) = \xi(20\,^{\circ}\mathrm{C}) \cdot \left[1 + \alpha_{20} \cdot \left(T - 20\,^{\circ}\mathrm{C}\right)\right]}

Allgemein kann jede Temperaturkennlinie durch eine Taylorreihe beschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\xi(T) = \xi(T_0 + \Delta T) = \xi(T_0) \cdot (1 + \alpha_{T_0} \cdot {\Delta T} + \beta_{T_0} \cdot {\Delta T}^2 + \gamma_{T_0} \cdot {\Delta T}^3 + \dotsb + k_{n, T_0} \cdot {\Delta T}^n + \dotsb)}}

Angenähert durch ein Taylorpolynom $n$-ten Grades ergibt sich die Approximation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\xi(T) = \xi(T_0 + \Delta T) = \xi(T_0) \cdot (1 + \alpha_{T_0} \cdot {\Delta T} + \beta_{T_0} \cdot {\Delta T}^2 + \gamma_{T_0} \cdot {\Delta T}^3 + \dotsb + k_{n, T_0} \cdot {\Delta T}^n)}}

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} ergibt sich die meist verwendete lineare Approximation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi(T) = \xi(T_0 + \Delta T) = \xi(T_0) \cdot (1 + \alpha_{T_0} \cdot \Delta T)}

Dabei ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T} die Temperaturdifferenz zur Referenztemperatur (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T - T_0} ),
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_{T_0}} der Temperaturkoeffizient 1. Ordnung bei der Referenztemperatur $T_{0}$,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_{T_0}} der Temperaturkoeffizient 2. Ordnung bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} ,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_{T_0}} der Temperaturkoeffizient 3. Ordnung bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} ,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{n, {T_0}}} der Temperaturkoeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -ter Ordnung bei $T_{0}$.

Die Temperaturkoeffizienten können wie folgt durch Ableitung der bekannten Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi(\tau)} berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_{T_0} = \frac{1}{1\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau}\right|_{\tau = T_0}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_{T_0} = \frac{1}{2!\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^2\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^2}\right|_{\tau = T_0}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_{T_0} = \frac{1}{3!\,\xi( T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^3\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^3}\right|_{\tau = T_0}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{n, T_0} = \frac{1}{n!\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^n\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^n}\right|_{\tau = T_0}}

Es ist zu beachten, dass die Temperaturkoeffizienten von der Bezugstemperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} abhängen.

Beispiel: Temperaturkoeffizienten beim idealen Gas

Für das ideale Gas sind die Temperaturkoeffizienten für Druck- und Volumenänderung gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac1{273{,}15}\, \mathrm K^{-1}} .

Bei den idealisierenden Annahmen sind Druck- und Volumenänderung linear.

Beispiel: Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands

Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands von Bauelementen (Leitungen, Widerständen) muss bei der Konstruktion von Baugruppen und der Auslegung von Schaltungen immer einkalkuliert werden. Andererseits wird diese Eigenschaft auch genutzt, z. B. bei Widerstandsthermometern.

Da der Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands streng genommen nicht konstant ist, gibt es Polynome zur Berechnung des Widerstands aus der vorliegenden Temperatur, zum Beispiel genormt für das Platin-Widerstandsthermometer. Für regelungstechnische Anwendungen sind oft lineare Funktionen erwünscht. Der lineare Temperaturkoeffizient $\alpha$ gibt die relative Änderung des Widerstandswertes pro Änderung der Temperatur zu einer Bezugstemperatur an; diese wird statt 20 °C oft zu 0 °C oder 25 °C gewählt. Bei den in der Elektrotechnik wichtigen Leitermaterialien Kupfer und Aluminium kann im Temperaturbereich 0 °C bis 50 °C für Abschätzungen mit dem Wert 0,4 % pro Kelvin gerechnet werden.

Handelsübliche Kleinleistungswiderstände, welche über den gesamten Betriebstemperaturbereich einen möglichst konstanten Widerstandswert aufweisen sollen, weisen übliche Temperaturkoeffizienten im Bereich von 100 ppm pro Kelvin bis 200 ppm pro Kelvin auf, Präzisionswiderstände sind im Bereich von 50 ppm pro Kelvin bis hinunter zu 1 ppm pro Kelvin verfügbar. Der lineare Temperaturkoeffizient wird in diesem Fall mit dem Präfix TK angegeben (im Englischen mit dem Präfix „TC“, für

temperature coefficient

), beispielsweise TK100 für einen Widerstand mit 100 ppm pro Kelvin.

Lineare Widerstands-Temperaturkoeffizienten einiger Stoffe bei 20 °C

Reine Metalle	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} in K−1	Legierungen	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} in K−1	Nichtmetalle	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} in K−1
Aluminium (99,5 %)	4,0 · 10−3	Aldrey (AlMgSi)	3,6 · 10−3	Kohlenstoff	−0,5 · 10−3
Blei	4,2 · 10−3	Berylliumbronze (SnBe4Pb)	0,5 · 10−3	Graphit	−0,2 · 10−3
Eisen (rein)	6,57 · 10−3	Manganin (Cu84Ni4Mn12)	±0,04 · 10−3	Lichtbogen-Kohle	0,5 · 10−3
Gold	3,7 · 10−3	Konstantan (CuNi44)	±0,01 · 10−3	Germanium	−48 · 10−3
Kupfer (99,9 %)	3,93 · 10−3	Isaohm	±0,003 · 10−3	Silizium	−75 · 10−3
Nickel	6,0 · 10−3	Messing (CuZn37)	1,6 · 10−3
Platin	3,92 · 10−3	Weicheisen (4 % Si)	0,9 · 10−3
Quecksilber	0,9 · 10−3	Stahl C15	5,7 · 10−3
Silber	3,8 · 10−3
Tantal	3,3 · 10−3
Wolfram	4,4 · 10−3

Weitere Beispiele

Neben den bereits genannten allgemein bekannten Temperaturkoeffizienten für den elektrischen Widerstand oder für Druck- und Volumenänderung für ideale Gase gibt es noch zahlreiche andere Temperaturkoeffizienten. Für ein bestimmtes Objekt ist dabei meist die Temperaturabhängigkeit einer bestimmten Größe technisch relevant, weswegen für dieses Objekt bzw. dessen Verwendung einfach nur von „dem“ (einen) Temperaturkoeffizienten gesprochen wird und damit klar ist, welche Größe sich ändert. Beispiele sind unter anderem:

• Der Temperaturkoeffizient eines Schwingquarzes, er beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Eigenfrequenz.
• Der Temperaturkoeffizient eines Kernreaktors, er beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Reaktivität (siehe auch Reaktivitätskoeffizient).
• Der Temperaturkoeffizient einer optischen Linse, er beschreibt die Temperaturabhängigkeit des Brechungsindex, z. B. bei Laseranwendung mit hohen Leistungen oder hoher Präzision.