Thévenin-Theorem

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Das Thévenin-Theorem (nach Léon Charles Thévenin; auch: Helmholtz-Thévenin-Theorem oder Helmholtz-Satz) besagt in der Theorie linearer elektrischer Netzwerke, dass jede mögliche Kombination von linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem ohmschen Widerstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ist.[1][2] Äquivalenz bedeutet, dass sich bei gleicher äußerer Belastung gleiches Verhalten von Spannung und Stromstärke einstellt.[3]

Diese Ersatzschaltung wird Thévenin-Äquivalent oder Ersatzspannungsquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.

Berechnung des Thévenin-Äquivalents

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Jede elektrische Schaltung, die ausschließlich aus linearen Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen besteht, kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden.

Das Thévenin-Äquivalent besteht aus einem ohmschen Widerstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\text{Th}} und einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{Th}} . Um die zwei Unbekannten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\text{Th}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{Th}} zu bestimmen, werden zwei Gleichungen benötigt. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise aufgestellt werden.

Wenn sich die Schaltung nicht wie eine ideale Stromquelle verhält, gilt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{Th}} :

  • Die Ausgangsspannung bei offenen Klemmen A–B ist die Leerlaufspannung und zugleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{Th}} .

Für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R_{\text{Th}}} gibt es verschiedene Methoden:

  • Im Schaltbild werden alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt.[4] Die Innenwiderstände der Quellen verbleiben jedoch in der Schaltung. Damit wird der Ersatzwiderstand berechnet. Dieser ist gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand.
  • Ist ein Kurzschluss von A nach B zulässig und der Kurzschlussstrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\mathrm{K}} bekannt, wird das Ohmsche Gesetz benutzt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\text{Th}= \frac{U_\text{Th}}{I_\mathrm{K}}}
  • Ein bekannter Widerstand wird an A–B angeschlossen und die Spannung gemessen. Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\text{Th}} bestimmt werden.
Eine geläufige Variante dieser Methode ist die der Halb-Spannung: Der Widerstand an A–B ist so veränderlich, dass die Hälfte der Leerlaufspannung über A–B abfällt. Der veränderliche Widerstand ist dann gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\text{Th}} .

Der Beweis des Thévenin-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.

Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent

Datei:Quelle Äquivalenz.svg
Zwei äquivalente Quellen

Ein Thévenin-Äquivalent (lineare Spannungsquelle) und ein Norton-Äquivalent (lineare Stromquelle) sind gegenseitig äquivalente Quellen. Eine Austauschbarkeit ist unter folgenden zwei Festlegungen gegeben:[3]

  • Das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_\mathrm i} ist in beiden nebenstehend gezeigten Schaltungen dasselbe (wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<R_\text{i} <\infty} sein muss)
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_0=I_\mathrm K \cdot R_\mathrm i}

Gleichwohl gibt es im Wirkungsgrad einen Unterschied zwischen der Ersatzspannungsquelle und der Ersatzstromquelle, siehe Wirkungsgrad der Stromquelle. Wo immer es auf die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ankommt, sind die Äquivalente nicht austauschbar.

Der Unterschied zeigt sich auch am Beispiel des Kurzschlusses: Während bei der Stromquelle kein Strom durch den Innenwiderstand fließt, wird bei der Spannungsquelle der Innenwiderstand vom gesamten Kurzschlussstrom „geheizt“, und das bei maximaler Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_0} .

Erweiterung für Wechselstrom

Das Thévenin-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden. Bei Anwendung im Wechselstrombereich ergeben sich jedoch auch Quellen mit frequenzabhängiger Amplitude und Phase. Daher ist eine praktische Anwendung für Wechselstromersatzschaltungen eher selten bzw. auf eine Frequenz beschränkt.

Geschichte

Das Thévenin-Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt. Es wurde dann 1883 vom französischen Ingenieur Léon Charles Thévenin (1857–1926) wiederentdeckt.[5]

Literatur

  • Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.

Einzelnachweise

  1. ↑ Marlene Marinescu, Nicolae Marinescu: Elektrotechnik für Studium und Praxis: Gleich-, Wechsel- und Drehstrom, Schalt- und nichtsinusförmige Vorgänge. Springer Vieweg, 2016, S. 61 ff
  2. ↑ Heinz Josef Bauckholt: Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik. Hanser, 7. Aufl., 2013, S. 82–88
  3. ↑ a b Peter Kurzweil (Hrsg.), Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg + Teubner, 2. Aufl., 2009, S. 223
  4. ↑ Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 1: Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld. Springer Vieweg, 11. Aufl., 2018, S. 47
  5. ↑ Johnson, D. H. (2003). Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent. Proceedings of the IEEE, 91(4), 636–640. doi:10.1109/JPROC.2003.811716.
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