G-Raum

Als G-Raum bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum. Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf natürliche Weise vor.

Definition

Sei $M$ ein topologischer Raum, $G$ eine (topologische oder diskrete) Gruppe und

G\times M\rightarrow M

(g,x)\mapsto gx

eine stetige Wirkung von $G$ auf $M$ , das heißt eine stetige Abbildung mit

g(hx)=(gh)x

für alle $g,h\in G,x\in M$ sowie

ex=x

für das neutrale Element $e\in G$ und alle $x\in M$ , dann wird $M$ G-Raum genannt.^[1]

Weitere Begriffe

Im Folgenden sei $M$ ein G-Raum, $G\times M$ trage die Produkttopologie und der Bahnenraum $G\backslash M$ die Quotiententopologie.

Transitive Wirkung

Eine Wirkung $G\times M\rightarrow M$ heißt transitiv, wenn es zu jedem Paar $(x,y)\in M\times M$ ein $g\in G$ mit $gx=y$ gibt.

Wenn $G$ transitiv auf $M$ wirkt, dann ist $M$ homöomorph zu $G/G_{x}$ mit der Quotiententopologie, wobei $G_{x}=\left\{g\in G:gx=x\right\}$ der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes $x\in M$ ist.

Freie Wirkung

Eine Wirkung $G\times M\rightarrow M$ heißt frei, wenn aus $gx=x$ (mit $g\in G$ und $x\in M$ ) stets $g=e$ folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle $x\in M$ der Stabilisator $G_{x}\subset G$ nur aus dem neutralen Element besteht.

Effektive Wirkung

Eine Wirkung heißt effektiv (oder treu), wenn es zu jedem $g\not =e$ ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gx\not =x} gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} in die Gruppe der Homöomorphismen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein Monomorphismus ist.

Fixpunkte

Die Fixpunkte eines Elementes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G} sind die Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gx=x} .

Ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} heißt globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gx=x} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G} gilt.

Eigentliche Wirkung

Eine Wirkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\times M\rightarrow M} heißt eigentlich, wenn die durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g,x)\rightarrow (x,gx)}

gegebene Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho:G\times M\rightarrow M\times M} eine eigentliche Abbildung ist.

Wenn die Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eigentlich ist, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\backslash M} Hausdorffsch und alle Orbiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Gx} sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G/G_x\rightarrow Gx} ist ein Homöomorphismus.^[2]

Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich

Eine Wirkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\times M\rightarrow M} heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} eine Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} gibt, für die

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sharp\left\{g\in G:gU\cap U\not=\emptyset\right\}<\infty} .

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\rightarrow G\backslash M} eine Überlagerung ist.

Eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} -invariante, offene Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega\subset M} heißt Diskontinuitätsbereich, wenn die Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} eigentlich diskontinuierlich ist. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall einer Kleinschen Gruppe und ihrer Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser ist das Komplement der Limesmenge und wird häufig auch als der Diskontinuitätsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies gilt allgemeiner auch für diskrete Gruppen von Isometrien von Hadamard-Mannigfaltigkeiten und ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen.)

Kokompakte Wirkung

Eine Wirkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\times M\rightarrow M} heißt kokompakt, wenn der Orbitraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\backslash M} kompakt ist.

Eine Wirkung ist kokompakt, wenn es einen kompakten Fundamentalbereich gibt.

Geometrische Wirkung

Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: geometric action), wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist.

Quellen

↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.
↑ Properly discontinuous actions

[1] Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.

[2] Properly discontinuous actions

[1]

[2]

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