Triakistetraeder

3D-Ansicht eines Triakistetraeders (Animation)

Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 12 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Tetraederstumpf und hat 8 Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung

Vierfach geschnittener Würfel

Werden auf alle 4 Begrenzungsflächen eines Tetraeders (mit Kantenlänge $a$ ) Pyramiden mit der Flankenlänge $b$ aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung ${\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}$ erfüllt ist.

Für den zuvor genannten minimalen Wert von $b$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge $a$ übrig bleibt.
Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b={\tfrac {3}{5}}a$ ist.
Nimmt $b$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge $b$ (siehe Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem gedachten Tetraeder im Kern – ist topologisch gleichwertig zum Triakistetraeder.
Überschreitet $b$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Körpernetz eines Triakistetraeders

Allgemein ${\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}$

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	$V={\frac {a^{2}}{12}}\left(a{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=3a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a}{12}}{\sqrt {\frac {48b^{2}-14a^{2}+8a{\sqrt {6b^{2}-2a^{2}}}}{4b^{2}-a^{2}}}}$
Flächenwinkel (über Kante a)	$\cos \,\alpha _{1}={\frac {5a^{2}-12b^{2}-8a{\sqrt {6b^{2}-2a^{2}}}}{9(4b^{2}-a^{2})}}$
Flächenwinkel (über Kante b)	$\cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}$

Speziell $b={\tfrac {3}{5}}a$

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {3}{20}}\,a^{3}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}={\frac {3}{5}}\,a^{2}{\sqrt {11}}$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {a}{15}}{\sqrt {6}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {3}{4}}\,a\,{\sqrt {\frac {2}{11}}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{4}}{\sqrt {2}}$
Flächenwinkel ≈ 129° 31′ 16″	$\cos \,\alpha =-{\frac {7}{11}}$
Sphärizität ≈ 0,86439	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{60\,\pi }}{2{\sqrt {11}}}}$