Triakisikosaeder

Datei:Triakisicosahedron.jpg

3D-Ansicht eines Triakisikosaeders (Animation)

Das Triakisikosaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Dodekaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten.

Entstehung

Werden auf die 20 Begrenzungsflächen eines Ikosaeders (Kantenlänge $a$) Pyramiden mit der Flankenlänge $b$ aufgesetzt, entsteht ein Triakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

${\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Ikosaeder mit der Kantenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} übrig bleibt.
• Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b={\frac {a}{22}}\,(15-{\sqrt {5}})$ ist.
• Nimmt $b$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakisikosaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} .
• Überschreitet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{a}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right) } zum Ikosaederstern.

Formeln

Allgemein

Spezielles Triakisikosaeder

Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V={\frac {5}{12}}a^{2}\left(a(3+{\sqrt {5}})+4{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt	$A_{O}=15a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$
Pyramidenhöhe	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} }
Inkugelradius	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho = \frac{a}{4} \sqrt{\frac{10a+4b}{a+2b} + 2\sqrt{5}} }
Flächenwinkel  (über Kante a)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \, \alpha_1 = \frac{(12b^2-5a^2)\sqrt{5} - 8a \sqrt{3b^2-a^2}}{9(4b^2-a^2)} }
Flächenwinkel  (über Kante b)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} }

Speziell

Datei:Triakisikosaeder mit Kantenkugel.svg

Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder: Deutlich treten die Kugelkappen auf den einzelnen Dreiecksflächen hervor. Die Inkreise sind zugleich Schnittflächen der Dreiecke mit der Kantenkugel.

Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {5}{44}}a^{3}(5+7{\sqrt {5}})$
Oberflächeninhalt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_O = \frac{15}{11} a^2 \sqrt{109 - 30\sqrt{5}} }
2. Seitenlänge  ≈ 0,5802 · a	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \frac{a}{22} \, (15 - \sqrt{5})}
Pyramidenhöhe	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = \frac{a}{66} (5\sqrt{5} - 9) \sqrt{3} }
Inkugelradius	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho = \frac{a}{4} \sqrt{\frac{10(33+13\sqrt{5})}{61}} }
Kantenkugelradius	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{a}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right) }
Flächenwinkel  ≈ 160° 36′ 45″	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \, \alpha = -\frac{1}{61} (24 + 15\sqrt{5}) }
Sphärizität  ≈ 0,96734	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi = \frac{\sqrt [3] {396\,\pi \left(27 + 7 \sqrt{5}\right)}} {6 \sqrt{109 - 30 \sqrt{5}}} }

Weblinks

Commons

Commons: Triakisikosaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Triakisikosaeder. In: MathWorld (englisch).

Catalanische Körper

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