Ungleichung von Cantelli

Die Ungleichung von Cantelli ist eine elementare stochastische Ungleichung, die auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurückgeht. Sie ist verwandt mit der tschebyschow-markowschen Ungleichung und liefert eine einseitige Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine reelle Zufallsvariable ihren Erwartungswert um eine positive Zahl übersteigt.

Formulierung der Ungleichung

Die Cantellische Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ und eine reelle Zufallsvariable $X\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$   .

$X$ besitze ein endliches zweites Moment:

$\operatorname {E} (X^{2})<{\infty }$   .

Weiter sei eine reelle Zahl   $c>0$   gegeben und $\operatorname {V} (X)$ bezeichne die Varianz von $X$.

Dann besteht die Ungleichung

$\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {(X)}+c}{\bigr )}}\leq {\frac {\operatorname {V} {{\bigl (}X{\bigr )}}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}$   .

Beweis der Ungleichung

Der Darstellung von Klaus D. Schmidt folgend lässt sie sich folgendermaßen herleiten:

Schritt 1

Man setzt

$Z=X-{\operatorname {E} (X)}$ .  

Dann ist zunächst

$\operatorname {E} (Z)=0$

und weiter

$\operatorname {V} (Z)=\operatorname {V} (X)=\operatorname {E} {\bigl (}Z^{2}{\bigr )}$ .  

Schritt 2

Hat man nun eine (zunächst beliebige) reelle Zahl $t>-c$, so ergibt sich, insbesondere wegen der tschebyschow-markowschen Ungleichung für zweite Momente, die folgende Ungleichungskette:

${\begin{aligned}\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {\bigl (}X{\bigr )}+c}{\bigr )}}&=\operatorname {P} {\bigl (}Z\geq c{\bigr )}\\&=\operatorname {P} {\bigl (}Z+t\geq c+t{\bigr )}\\&\leq \operatorname {P} {\bigl (}|Z+t|\geq c+t{\bigr )}\\&\leq {\frac {\operatorname {E} {\bigl (}{(Z+t)}^{2}{\bigr )}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {E} {\bigl (}Z^{2}{\bigr )}+t^{2}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (Z)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}.\end{aligned}}$

Schritt 3

Insbesondere für die reelle Zahl

$t_{0}={\frac {\operatorname {V} (X)}{c}}$

gilt nach Schritt 2:

${\begin{aligned}\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} (X)+c}{\bigr )}}&\leq {\frac {{\operatorname {V} (X)}+{t_{0}}^{2}}{(c+{t_{0}})^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+{\frac {{\operatorname {V} (X)}^{2}}{c^{2}}}}{{(c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{c^{2}}\cdot {\operatorname {V} (X)}+{{\operatorname {V} (X)}^{2}}}{{{c^{2}}\cdot (c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}\cdot {{\bigl (}{c^{2}}+{{\operatorname {V} (X)}{\bigr )}}}}{{({c^{2}}+{\operatorname {V} (X)})}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {V} {{\bigl (}X{\bigr )}}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}\\\end{aligned}}$   .

Damit ist alles bewiesen.

Anmerkungen

Die in obigem Schritt 2 auftretende reellwertige Funktion

$t\mapsto {\frac {{\operatorname {V} (X)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}\;(t\in \;]-c\;,\;\infty [)$

nimmt an der genannten Stelle

$t_{0}={\frac {\operatorname {V} (X)}{c}}$

ihr absolutes Minimum an. Die in der Cantellischen Ungleichung genannte obere Schranke ist also in diesem Sinne optimal.

Auch für negative $c$ lässt sich eine ähnliche Abschätzung herleiten. Es gilt dann für $c<0$

$\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {(X)}+c}{\bigr )}}\geq {\frac {c^{2}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}$   .

Quellen

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.