Endomorphismus

In der universellen Algebra ist ein Endomorphismus (von griechisch ἔνδον éndon ‚innen‘ und

μορφή

‚Gestalt‘, ‚Form‘) ein Homomorphismus $f\colon A\to A$ einer mathematischen Struktur $A$ in sich selbst. Ist $f$ zusätzlich ein Isomorphismus, wird er auch Automorphismus genannt.

In der Kategorientheorie heißt jeder Morphismus, dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes $A$ wird mit $\operatorname {End} (A)$ bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring, den Endomorphismenring.

Definition

Algebraische Strukturen

Sei $(A,(f_{i}))$ eine algebraische Struktur, also eine nichtleere Menge $A$ zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen $f_{i}$ mit entsprechenden Stelligkeiten $\sigma _{i}$. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein Vektorraum $(A,(+,\cdot ))$, eine Gruppe $(A,*)$ oder ein Ring $(A,(+,*))$ sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus $\phi \colon A\to A$ eine Abbildung der Menge $A$ auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt, es gilt

$\phi \left(f_{i}(a_{1},\dotsc ,a_{\sigma _{i}})\right)=f_{i}(\phi (a_{1}),\dotsc ,\phi (a_{\sigma _{i}}))$

für alle $i$ und alle $a_{1},\dotsc ,a_{\sigma _{i}}\in A$.

Kategorientheorie

Sei $X$ ein Objekt einer Kategorie. Ein Morphismus $f\colon X\to X$, der auf einem Objekt $X$ operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien von Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

Spezielle Strukturen

Vektorräume

Allgemeines

In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus eines $K$-Vektorraumes $V$ eine $K$-lineare Abbildung $f\colon V\to V$. Dabei bedeutet $K$-linear (oder auch einfach linear, wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist), dass die Gleichung

$f\left(ax+y\right)=af\left(x\right)+f\left(y\right)$

für alle $a\in K$ und alle $x,y\in V$ erfüllt. Zusammen mit der Addition der Bilder und der Komposition als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, den man den Endomorphismenring nennt. Werden die linearen Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so erhält man mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Matrizenring, der isomorph zum Endomorphismenring ist.

Ist der zugrundeliegende Vektorraum ein topologischer Vektorraum und betrachtet man den Vektorraum der stetigen Endomorphismen, der im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume im Allgemeinen ein echter Unterraum des Endomorphismenraums ist, so kann man auf diesem Vektorraum aller stetiger Endomorphismen eine Topologie induzieren, sodass die Addition und die Multiplikation des Rings stetig sind. Somit ist der Endomorphismenring ein topologischer Ring.

Beispiel

Die Ableitung $\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ist auf dem Vektorraum der Polynome $V=\mathbb {R} [x]_{3}$ maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} wählt man die monomiale Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left\{1, x, x^2, x^3\right\}} . Diese kann man isomorph auf die kanonische Basis des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^4} abbilden, durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi\left(x^i\right) = (0,\dotsc, 1 , \dotsc, 0)^t \in \R^4} . Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-Tupels. Also kann man jedes Polynom aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R[x]_3} als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi\left(4x^3 + 2x + 5\right) = (4,0,2,5)^t} . Nun kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}} verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi \circ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \circ \Phi^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} } .

Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (4,0,2,5)^t} an, so erhält man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,12,0,2)^t} , was dem Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12x^2 + 2} entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

Gruppen

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist ein Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , das heißt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \colon G \to G} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi(gh)=\phi(g)\phi(h)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g,h\in G} .

Siehe auch

• Monomorphismus
• Epimorphismus

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0.
• M. Sh. Tsalenko: Endomorphism. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).