PT1-Glied

PT₁-Glied im Strukturbild

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Ein gebräuchliches Beispiel ist in der Elektrotechnik der Tiefpass (1. Ordnung), der beispielsweise durch ein RC-Glied realisiert werden kann.

Beispiel für eine Verzögerung 1. Ordnung wäre außerhalb der Regelungstechnik ein Reifen, dessen Seitenkraft verzögert auf eine Änderung des Schräglaufwinkels erfolgt.

Übertragungsfunktion

Das PT1-Glied wird durch die lineare Differentialgleichung wie folgt beschrieben:

$T\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=K\cdot u(t).$

Durch Laplace-Transformation erhält man die zugehörige komplexe Übertragungsfunktion:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{1+T\cdot s}}.$

Hierbei bezeichnet $K$, $K>0$, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und $T$, $T>0$, die Zeitkonstante. Für $T<0$ hätte das System ein exponentiell aufklingendes Verhalten.

Bodediagramm

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1 s)

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega )={\frac {K}{1+j\omega T}}$ der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

$\varphi (\omega )=-\arctan(\omega T).$

Amplitudengang

Bezeichnet $\omega _{0}={\frac {1}{T}}$ die Knick- bzw. Eckkreisfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

$G(j\omega )={\begin{cases}K,&{\text{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\{\frac {K}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}},&{\text{wenn }}\omega \gg \omega _{0}\end{cases}}$

bzw. logarithmiert, in Dezibel:

$|G|_{\mathrm {dB} }={\begin{cases}20\log K,&{\text{wenn }}\omega \ll \omega _{0}\\20\log K-20\log {\frac {\omega }{\omega _{0}}},&{\text{wenn }}\omega \gg \omega _{0}.\end{cases}}$

Für Kreisfrequenzen unterhalb der Eckkreisfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Kreisfrequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickkreisfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckkreisfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Polstelle ist $-{\frac {1}{T}}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckkreisfrequenz ω₀ beschreibt.

Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Kreisfrequenzen 0°, bei großen Kreisfrequenzen −90° und bei der Knickkreisfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickkreisfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickkreisfrequenz bei −90° endet.

Sprungantwort

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1 s)

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes ergibt sich durch Integration der Impulsantwort. Im Bildbereich:

$H(s)={\frac {1}{s}}{\frac {K}{1+T\cdot s}}.$

Durch die inverse Laplace-Transformation erhält man die Zeitfunktion:

$h(t)=K(1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}}).$

Sie hat den Verlauf einer e-Funktion, die sich dem Endwert K annähert. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Abweichung vom Endwert erhalten. Die Tangente zum Zeitpunkt Null schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T.

Ortskurve

Ortskurve eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1 s )

Die Ortskurve ($0\leq \omega \leq \infty$) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

$F(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+\mathrm {j} \omega T_{1}}}.$

Komplex konjugiertes Erweitern liefert:

$F(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+\mathrm {j} \omega T_{1}}}\cdot {\frac {1-\mathrm {j} \omega T_{1}}{1-\mathrm {j} \omega T_{1}}}={\frac {K-\mathrm {j} \omega T_{1}K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}$

sodass sich Real- und Imaginärteil explizit darstellen lässt:

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega )\right\}={\frac {K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}},$ und

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega )\right\}={\frac {-\omega T_{1}K}{1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}.$

Damit errechnet sich Betrag und Phase:

$\left|F\left(\mathrm {j} \omega \right)\right|={\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T_{1}^{2}}}},$ sowie

$\varphi (\omega )=\varphi \left(F(\mathrm {j} \omega )\right)=\arctan(-\omega T_{1})=-\arctan(\omega T_{1}).$

Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen:

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to 0)\right\}=K$

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to 0)\right\}=0$

$\mathrm {Re} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to \infty )\right\}=0$

$\mathrm {Im} \left\{F(\mathrm {j} \omega \to \infty )\right\}=0$

$|F(\mathrm {j} \omega \to 0)|=K$

$\varphi (\mathrm {j} \omega \to 0)=0^{\circ }$

$|F(\mathrm {j} \omega \to \infty )|=0$

$\varphi (\mathrm {j} \omega \to \infty )=-90^{\circ }.$

Zeitdiskretes PT1-Glied

Zur numerischen Berechnung einer Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten werden Differenzengleichungen eingesetzt.

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge $y_{(k)}=f(x_{(k)})$ von nummerierten Folgeelementen bzw. Stützstellen $y_{k}$ im Abstand eines meist konstanten Intervalls $\Delta x$ oder bei zeitabhängigen Systemen $\Delta t$. Die Indizierung der Variablen erfolgt über $k=[0,\ 1,\ 2,\ 3,\dotsc ,k_{\text{max}}]$.

Die Differenzengleichung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden linearen Differenzialgleichung durch einen Differenzenquotient ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich entsprechend der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} jedes aktuelle Folgeelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_k} sich auf ein zurückliegendes Folgeelemente bezieht.

Das PT1-Glied wird durch die lineare Differentialgleichung in der Zeitkonstantendarstellung wie folgt beschrieben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t). \qquad} Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} der Verstärkungsfaktor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} die Zeitkonstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t)} der Eingangssprung.

• Beispiel der Herleitung einer Differenzengleichung für ein PT1-Glied mit dem Vorwärts-Differenzenquotienten:

Sprungantworten eines PT1-Gliedes der Methoden Rückwärts- und Vorwärts-Differenzenquotienten

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung des PT1-Gliedes wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1 \cdot \frac {y_{k+1}-y_k}{\Delta t} + y_{k} = K_{PT1} \cdot u_k}

Diese Gleichung wird nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{k+1}} aufgelöst.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{k+1} - y_k = \frac {\Delta t}{T_1} \cdot(K_{PT1}\cdot u_k-y_k)}

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet mit dem Vorwärts-Differenzenquotienten (entspricht auch Euler-Vorwärts):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{k+1} = y_k + (K_{PT1} \cdot u_k-y_k) \cdot \frac {\Delta t}{T_1}}

• Beispiel der Herleitung einer Differenzengleichung für ein PT1-Glied mit dem Rückwärts-Differenzenquotienten:

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung des PT1-Gliedes wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1 \cdot \frac {y_k-y_{k-1}}{\Delta t}+y_{k} = K_{PT1} \cdot u_k}

Diese Gleichung wird nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_k} aufgelöst.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_k+\frac {\Delta t} {T_1} \cdot y_k = y_{k-1}+ \frac {K_{PT1} \cdot \Delta t}{T_1} \cdot u_k}

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet mit dem Rückwärts-Differenzenquotienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_k = \frac {T_1}{T_1+\Delta t} \cdot y_{k-1} + \frac {\Delta t \cdot K_{PT1}}{T_1+\Delta t} \cdot u_k }

Differenzengleichung des PT1-Gliedes in vereinfachter Schreibweise mit identischer mathematischer Funktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_k = y_{k-1}+(K_{PT1} \cdot u_k-y_{k-1}) \cdot \frac {\Delta t}{T_1+ \Delta t}}

Die Anzahl der Folgeelemente errechnet sich für die Ausgangsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t)} im Zeitbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0 \quad \text{bis} \quad t_\text{max}} : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad n \text{ Folgen} = \frac {t_\text{max}}{h}} .

Mit fallender Größe der Schrittweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} fällt der Approximationsfehler proportional.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \to} Siehe Artikel Differenzenquotient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \to} Siehe ausführliche Details mit Anwendung Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

Siehe auch

• Regler
• P-Glied
• I-Glied
• D-Glied
• PT2-Glied
• PID-Regler
• Totzeit-Glied