Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge $A$. Seien $M_{n}$ reelle Konstanten, so dass

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

für alle $n\geq 1$ und alle $x$ in $A$ gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$.

Dann gilt: Die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

konvergiert absolut und gleichmäßig auf $A$.

Beispiel

Sei $0<\alpha <1$ eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}$

überall stetig aber nirgends differenzierbar. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

$\left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }$

sowie

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{\alpha }}}\right)^{n}={\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty$

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe $f(x)$ gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Damit ist $f$ als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

• Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)