Wiener-Chintschin-Theorem

Das Wiener-Chintschin-Theorem (auch Wiener-Chintchin-Kriterium oder Chintschin-Kolmogorow-Theorem, nach Alexander Chintschin, Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow) ist ein Satz in der Stochastik und Signalverarbeitung. Er besagt, dass die spektrale Leistungsdichte eines stationären Zufallsprozesses die Fourier-Transformierte der korrespondierenden Autokorrelationsfunktion ist.

Der Satz gilt auch trivialerweise, d. h. durch Einsetzen der Fourier-Transformierten, die in diesem Fall anders als bei Zufallsprozess-Signalen existieren, für die stetigen Funktionen periodischer Signale, und kann somit auf ein durch Rauschen gestörtes periodisches Signal angewandt werden.

Formulierung in der Signalverarbeitung

Für zeitkontinuierliche Signale hat das Theorem die Gestalt ($\mathrm {j}$ steht für die imaginäre Einheit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für die Frequenz):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f\tau} d\tau}

mit der Autokorrelationsfunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{xx}(\tau) = E\left(x(t) \cdot x^*(t+\tau)\right) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x^*(t) \cdot x(t + \tau) dt}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} der Erwartungswert des Produktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t) \cdot x^*(t+\tau)} .

Die spektrale Leistungsdichte $\,S_{xx}(f)$ der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,x(t)} ist außerdem bei Existenz der Fourier-Transformierten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat x(f)} des Signals Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t)} definiert als:

$S_{xx}(f)={\left|{\hat {x}}(f)\right|}^{2}$

Für „Rauschsignale“ existiert die Fourier-Transformierte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat x(f)} allerdings im Allgemeinen nicht. Der Name spektrale Leistungsdichte (PSD, Power Spectral Density) kommt daher, dass das Signal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t)} häufig eine Spannung ist und die Autokorrelationsfunktion dann eine Energie liefert. „Spektrale Dichte“ besagt, dass die Leistung als Funktion der Frequenz pro Frequenzintervall angegeben wird. Die PSD erlaubt Aussagen über das Vorliegen von Periodizitäten in verrauschten Signalen. Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem kann die PSD aus der Autokorrelationsfunktion gewonnen werden. Für die Detektion periodischer Signale im Rauschhintergrund wurde die Autokorrelationsfunktion allerdings schon früher angewandt, z. B. von George Udny Yule in den 1920er Jahren.

Umgekehrt ergibt sich auch die Autokorrelationsfunktion als Fourier-Rücktransformierte der spektralen Leistungsdichte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{xx} (\tau)= \int_{-\infty}^\infty S_{xx}(f)\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi f\tau} d f}

Bemerkung: bei Formulierung mit der Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,\omega = 2 \pi f } lauten die entsprechenden Formeln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{xx}(\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} r_{xx}(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau} d\tau }

$r_{xx}(\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }S_{xx}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega \tau }d\omega$

Das ist die eigentlich übliche Form der Fourier-Transformation, hier wird wie in der Signaltheorie eine Formulierung ohne Kreisfrequenz gewählt (siehe Fourier-Transformation).

Berechnungen im Frequenzraum sind über dieses Theorem gegen solche im Zeitraum austauschbar, ähnlich wie bei dem L^p-Ergodensatz und dem individuellen Ergodensatz bzw. der Ergodenhypothese, die bei typischen Systemen der statistischen Mechanik die Vertauschbarkeit von Zeit- und Ensemblemittel aussagt.

Im Falle zeitdiskreter Signale (einer Zeitreihe mit N Termen) hat das Wiener-Chintschin-Theorem eine ähnliche Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}(k)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi k f}}

Die Summe wird dabei in Anwendungen auf endlich viele (Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p<N} ) Terme begrenzt.

Weiterhin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{xx}(k) = E\left(x^*(n)x(n-k)\right) = \frac{1}{N} \sum_n^N x^*(n) x (n-k)} die Autokorrelationsfunktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,S_{xx}(f)} das Leistungsdichtespektrum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,x(n)} .

Mathematische Formulierung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi (u)} ist die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichtefunktion $f$ genau dann, falls es eine Funktion $x(t)$ gibt mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\Vert x \Vert}^2 = \int_{-\infty}^\infty x(t)x^*(t) dt = 1} ,

so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi (u) = \int_{-\infty}^\infty x (t) x^*(t+u) dt}

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $f$ ist dann gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f = |\hat x|^2}

mit der charakteristischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat x} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ; letztere entspricht bis auf Vorfaktoren der Fourier-Transformation von $x$.

Das Theorem ist ein Spezialfall der Plancherel-Formel (auch Satz von Plancherel genannt).

Oder in der ursprünglichen Formulierung von Chintchin:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(u) = \int_{-\infty}^\infty x (t) x^*(t + u) \, dt}

ist dann und nur dann die Korrelationsfunktion eines reellen stationären Zufallsprozesses $x(t)$, falls

$R(u)=\int _{-\infty }^{\infty }\cos(ut)\,dF(t)$

mit einer Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(t)} .

Anwendung in der Systemanalyse

Das Theorem erlaubt es, lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme), wie elektrische Schaltkreise mit linearen Bauelementen, zu untersuchen, wenn deren Ein- und Ausgangssignale nicht quadratintegrabel sind und somit keine Fourier-Transformierten existieren, wie im Fall zufälliger Signale (Rauschen).

Nach der Theorie der LTI-Systeme ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals nämlich gleich derjenigen des Eingangssignals multipliziert mit dem Betragsquadrat des Frequenzganges, also der Fourier-Transformierten der Impulsantwort des Systems.

Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion gleich der spektralen Leistungsdichte, und somit die Leistungsdichte des Ausgangssignals gleich der Leistungsdichte des Eingangssignals, multipliziert mit der Leistungs-Übertragungsfunktion, analog zum Fall periodischer Signale bei LTIs.

Siehe auch

• Kohärenz (Physik)#Wiener-Chintschin-Theorem

Weblinks

• Bernd Pompe: Verfahren der stochastischen Signalverarbeitung. (Memento vom 25. Juni 2007 im Internet Archive) (PDF-Datei; 2,0 MB)
• Alexander Chintchin: Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. In: Mathematische Annalen Band 109, 1934.