Willmore-Energie

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Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche mit mittlerer Krümmung definiert man die Willmore-Energie

.

Motivation

Minimalflächen im sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: .

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

mit der Gauß-Krümmung definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius hat Willmore-Energie . Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als ist.[1]

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie .

Thomas Willmore vermutete 1965[2], dass für jede Fläche vom Geschlecht die Ungleichung

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.[3] Martin Schmidt hat schon 2002 in[4] einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens , das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves
  2. T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493–496 (1965)
  3. Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture, arxiv:1202.6036
  4. Martin U. Schmidt: A proof of the Willmore conjecture. In: arXiv. 2002. arxiv:math/0203224.