Dekadischer Logarithmus

Funktionsgraph des dekadischen Logarithmus

Der dekadische Logarithmus oder Zehnerlogarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10. Die mathematische Schreibweise für den dekadischen Logarithmus einer Zahl $x$ ist gemäß DIN 1302

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lg x} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{10}x\,.}

Seine Umkehrfunktion ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10^x} , das heißt $y=10^{x}$ ist gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \lg y\,.}

Die Schreibweise $\log x$ (ohne Basis) ist mit widersprüchlichen Bedeutungen belegt (siehe Logarithmus), wird in der Praxis aber dennoch mitunter für den dekadischen Logarithmus verwendet.

Logarithmentabellen erleichterten das Rechnen, bevor in den 1970er-Jahren Taschenrechner zu einem weitverbreiteten Hilfsmittel wurden. In den Anhängen vieler Bücher fanden sich Logarithmentafeln, die für alle Zahlen von 1 bis 10 in Schritten von beispielsweise 0,01 oder 0,001 den Wert des dekadischen Logarithmus auflisteten. Es mussten nur die Werte für Zahlen von 1 bis 10 gedruckt werden, da sich die Werte für andere Zahlen wie im folgenden Beispiel berechnen lassen. Liest man etwa in der Tabelle ab, dass

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \log _{10}1{,}2\approx 0{,}07918}

gilt, so folgt

$\log _{10}120=\log _{10}(10^{2}\cdot 1{,}2)=2+\log _{10}1{,}2\approx 2{,}07918\,.$

Der dekadische Logarithmus wird nach Henry Briggs auch Briggsscher Logarithmus genannt.

Basisumrechnung

Siehe auch: Logarithmus, Abschnitt „Basisumrechnung“

Heute besitzen viele wissenschaftliche Taschenrechner (beispielsweise in der Schule verwendete Geräte) eine Taste mit der Aufschrift log, die den dekadischen Logarithmus einer Zahl wiedergibt. Möchte man den Logarithmus auf der Basis einer anderen Zahl erhalten und hat aber nur eine Taste für den Logarithmus auf der Basis 10 zur Verfügung, so kann einem folgende mathematische Gesetzmäßigkeit weiterhelfen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{b}(x) = \frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(b)}}

Beispiel

In diesem Rechenbeispiel wird der binäre Logarithmus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{2}(16)} mit Hilfe des dekadischen Logarithmus errechnet:

$\log _{2}(16)={\frac {\lg(16)}{\lg(2)}}={\frac {1{,}2041\ldots }{0{,}3010\ldots }}=4$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Common Logarithm. In: MathWorld (englisch).