Zellulärer Automat

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Beispiel für ein raumzeitliches Muster, das sich in einem zellulären Automaten ausbildet[1]

Zelluläre oder auch zellulare Automaten dienen der Modellierung räumlich diskreter dynamischer Systeme, wobei die Entwicklung einzelner Zellen zum Zeitpunkt primär von den Zellzuständen in einer vorgegebenen Nachbarschaft und vom eigenen Zustand zum Zeitpunkt abhängt.

Beschreibung

Ein Zellularautomat ist durch folgende Größen festgelegt:

  • ein Raum (Zellularraum)
  • eine endliche Nachbarschaft
  • eine Zustandsmenge
  • eine lokale Überführungsfunktion .

Der Zellularraum besitzt eine gewisse Dimensionalität, er ist in der Regel ein- oder zweidimensional, kann aber durchaus auch höherdimensional sein. Man beschreibt das Aussehen eines Zellularautomaten durch eine globale Konfiguration, welche eine Abbildung aus dem Zellularraum in die Zustandsmenge ist, das heißt, man ordnet jeder Zelle des Automaten einen Zustand zu. Der Übergang einer Zelle von einem Zustand (lokale Konfiguration) in den nächsten wird durch Zustandsübergangsregeln definiert, die deterministisch oder stochastisch sein können. Die Zustandsübergänge erfolgen für alle Zellen nach derselben Überführungsfunktion und gleichzeitig. Die Zellzustände können wie die Zeitschritte diskret sein. In der Regel ist die Anzahl der möglichen Zustände klein: Nur wenige Zustandswerte reichen zur Simulation selbst hochkomplexer Systeme aus.

Man unterscheidet zwei verschiedene Nachbarschaften (auch Nachbarschaftsindex genannt):

Geschichte der Zellularautomaten

Zellularautomaten wurden um 1940 von Stanislaw Ulam in Los Alamos vorgestellt. John von Neumann, ein damaliger Kollege Ulams, griff die Idee auf und erweiterte sie zu einem universellen Berechnungsmodell. Er stellte einen Zellularautomaten mit 29 Zuständen vor, der ein gegebenes Muster immer wieder selbst reproduzieren konnte. Er beschrieb damit als erster einen Zellularautomaten, der berechnungs- und konstruktionsuniversell ist. Er ist nach von Neumann geeignet für Probleme biologischer Organisation, Selbstreproduktion und der Evolution von Komplexität. Damit ist der Zellularautomat auch eine wichtige Grundlage für künstliches Leben.

Bis zu den 1960er Jahren waren die Analogrechner den Digitalrechnern bei einigen Fragestellungen überlegen. Ein analoger Zellulärer Automat zur Simulation von Grundwasserströmungen wird im Artikel Analogrechner, Abschnitt „Beispiel: Zellulärer Automat“ genauer beschrieben.

In den 1970er Jahren erlangte John Horton Conways Game of Life Berühmtheit.

1969 veröffentlichte Konrad Zuse sein Buch „Rechnender Raum“, worin er annimmt, dass die Naturgesetze diskreten Regeln folgen und das gesamte Geschehen im Universum das Ergebnis der Arbeit eines gigantischen Zellularautomaten sei.

1983 veröffentlichte Stephen Wolfram eine Reihe von grundlegenden Arbeiten zu Zellularautomaten und 2002 das Buch A New Kind of Science.

Wolframs eindimensionales Universum

Wolframs eindimensionales Universum

Stephen Wolframs zellulärer Automat ist ein besonders schönes und einfaches Modell-Universum. Es besteht aus nur einer Raum- und einer Zeitdimension. Im Bild ist die Raumdimension waagerecht eingezeichnet und die Zeitdimension verläuft senkrecht nach unten. (Das Bild enthält drei verschiedene Bildausschnitte.) Die Raumdimension ist endlich, aber unbegrenzt, denn ihr rechtes und linkes Ende sind topologisch miteinander verbunden.

Die Raum-Zeit-Elemente dieses Universums können nur leer oder voll sein. Beim „Urknall“ (in den obersten Bildzeilen) werden diese Raum-Zeit-Elemente mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit gefüllt. Es gibt nur ein Naturgesetz, das eine Nahwirkung darstellt. Der Nahbereich umfasst die linken zwei Nachbarn eines Raum-Zeit-Elements, das Raum-Zeit-Element selbst, und die rechten zwei Nachbarn des Raum-Zeit-Elements. Wenn zwei oder vier Raum-Zeit-Elemente im Nahbereich voll sind, dann ist im nächsten Zeitintervall dieses Raum-Zeit-Element auch voll, ansonsten ist es im nächsten Zeitintervall leer. Es existieren keine weiteren Regeln.

Obwohl es im Gegensatz zu Computer-Spielen keine Fernwirkung und keinerlei Kontrollinstanz gibt, entwickelt sich dieses Modelluniversum zu verblüffender Komplexität. Nach dem Urknall findet eine Eliminationsphase statt, so wie im echten Universum auch. Danach entstehen kurzlebige, aber geordnete Strukturen, die irgendwann erlöschen. Einige der geordneten Strukturen sind aber langzeitstabil, manche davon oszillieren, andere davon sind in der Zeit formstabil. Sowohl von den oszillierenden als auch von den formstabilen Strukturen existieren sowohl ortsfeste als auch bewegliche Arten. Die maximale Austauschgeschwindigkeit dieses Universums kann nur zwei Raumeinheiten je Zeiteinheit betragen. Wenn zwischen den stabilen bewegten Objekten Kollisionen stattfinden, dann setzt wieder Chaos ein, und eine weitere Eliminationsphase findet statt.

Vereinfacht man noch weiter und berücksichtigt neben dem Zustand des Elementes selbst nur jeweils das rechte und das linke Nachbarelement, gibt es genau 8 Regelelemente. Ein Beispiel dazu steht weiter unten. Insgesamt gibt es 256 solcher Regeln. Selbst unter diesen noch einfacheren Regeln zeigen einige eine erstaunliche Komplexität. Eine der interessantesten ist die „Regel 110“:

Regel 110

neuer Zustand der mittleren Zelle 0 1 1 0 1 1 1 0
momentaner Zustand dreier benachbarter Zellen 111 110 101 100 011 010 001 000
Die ersten 200 Entwicklungsschritte (von unten nach oben) von Regel 110, wenn zu Beginn nur eine Zelle voll ist und alle anderen leer sind.
Die ersten 3200 Entwicklungsschritte von Regel 110. Gezeigt ist nur die linke Seite.

Siehe auch: Regel 30

Einteilung

Stephen Wolfram definiert in A New Kind of Science und in etlichen Arbeiten aus der Mitte der 1980er-Jahre vier Klassen, in die man die zellulären Automaten (genauer: die Regeln, die sie abarbeiten) je nach ihrem Verhalten unterteilen kann. Frühere Autoren versuchten lediglich, die Art der Muster für bestimmte Vorschriften zu ermitteln.

Dem Aufwand nach geordnet waren dies die Klassen:

  • Klasse 1: Fast alle ursprünglichen Muster entwickeln sich schnell zu einem stabilen und homogenen Zustand. Dadurch verschwindet jede Zufälligkeit in den ersten Mustern.
  • Klasse 2: Fast alle ursprünglichen Muster entwickeln sich schnell in stabile oder oszillierende Strukturen. Einige Zufälligkeiten der ersten Muster kann man herausfiltern, jedoch können manche zurückbleiben. Lokale Änderungen am ursprünglichen Muster neigen dazu lokal zu bleiben.
  • Klasse 3: Fast alle ursprünglichen Muster entwickeln sich pseudozufällig oder chaotisch. Jede stabile Struktur kann schnell durch Rauschen zerstört werden. Lokale Änderungen am ursprünglichen Muster neigen dazu, sich bis ins Unendliche auszubreiten.
  • Klasse 4: Fast alle ursprünglichen Muster entwickeln sich in Strukturen, die vielschichtig und interessant interagieren. Endlich informative Ursprungsmuster können, wie in Klasse 2 üblich, stabile oder oszillierende Strukturen ergeben, aber die Anzahl der erforderlichen Schritte, um diesen Zustand zu erreichen, kann selbst für einfache Muster sehr groß sein. Lokale Änderungen am ursprünglichen Muster können sich bis ins Unendliche verbreiten.

Wolfram hat vermutet, dass nicht alle zellulären Automaten der Klasse 4 dazu imstande sind, universelle Berechnungen auszuführen. Die Universalität hat sich vor allem für die Regel 110 und Conways Spiel des Lebens bestätigt.

Zelluläre Automaten programmieren

Dieses kurze Skript, geschrieben in der Programmiersprache Python, kann alle 256 eindimensionalen zellulären Automaten simulieren und erzeugt als Ausgabe ein Bild im Grafikformat Portable Graymap (.pgm). Beim Aufruf muss die gewünschte Regelnummer, 0 bis 255 eingegeben werden. 

from optparse import OptionParser

if __name__=="__main__":
    parser = OptionParser()
    parser.add_option("-r", dest="rule", help="Rule number 0..255.")
    parser.add_option("-f", dest="file_path", help="File path")

    (option, args) = parser.parse_args()
    rule = option.rule
    file_path = option.file_path

    w = 1000
    r = s = [0] * w
    r[int(w/2)] = 1
    z = []
    d = 0

    for j in range(0, int(w/2)):
        n = (r[0] << 1) + r[1]
        o = ""
        for i in range(1, w):
            o += " 0 " if r[i]==1 else "15 "
        z.append(o + "\n")
        for i in range(2,w):
            n = (n << 1) + r[i]
            if n >= 8: n-=8
            s[i-1] = (int(rule) >> n)%2
        r = s
        d += 1

    f = open(file_path,'w')
    f.write("P2\n")
    f.write(str(w-1) + " " + str(d) + "\n")
    f.write("15\n")
    for i in range(len(z)-1, 0, -1):
        f.write(z[i])
    f.close()

Beispiele für zelluläre Automaten

Garten von Eden und Zwillinge

Der Garten von Eden ist eine Konfiguration (Muster) des zellulären Automaten, die keine Vorläufer hat. Sie enthält mindestens eine endliche Konfiguration, die ebenfalls keine Vorläufer hat, einen Waisen (englisch: orphan). Ein Zwilling einer endlichen Konfiguration ist eine andere endliche Konfiguration, die die gleichen zukünftigen Muster hat. Ein zellulärer Automat ist injektiv falls unterschiedliche Teile des Musters auch in Zukunft unterschiedlich bleiben, lokal injektiv falls keine Zwillinge vorhanden sind, und surjektiv wenn jede Konfiguration einen Vorläufer hat.

Edward F. Moore (1962[2]) und John Myhill (1963[3]) bewiesen den Garten-von-Eden-Satz in der Theorie zellulärer Automaten: ein zellulärer Automat im euklidischen Raum ist lokal injektiv genau dann, wenn er surjektiv ist. Das lässt sich auch so ausdrücken, dass zelluläre Automaten genau dann einen Garten von Eden haben, wenn sie keine Zwillinge haben. Dabei bewies Moore einen Teil der Äquivalenz (Automaten mit Zwillingen haben Waisen), Myhill die Umkehrung (ein Automat mit Waisen hat auch Zwillinge).

Siehe auch

Literatur

  • Melanie Mitchell: Complexity. A Guided Tour. Oxford University Press, Oxford u. a. 2009, ISBN 978-0-19-512441-5, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  • Klaus Mainzer, Leon Chua: The Universe as Automaton. From Simplicity and Symmetry to Complexity. Springer, Heidelberg u. a. 2012, ISBN 978-3-642-23476-7, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.

Weblinks

Commons: Cellular automata – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Sekundärliteratur

Visualisierungen und Implementierungen

Einzelnachweise

  1. ↑ Daniel Dennett, (1995), Darwin's Dangerous Idea, Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X
  2. ↑ Moore, "Machine models of self-reproduction, Proc. Symp. Applied Mathematics, Band 14, 1962, S. 17–33
  3. ↑ Myhill, The converse of Moore's Garden-of-Eden theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, Band 14, 1963, S. 685–686
  4. ↑ NetLogo Models Library: CA 1D Elementary Cellular Automata. Abgerufen am 26. November 2018 (englisch).
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