Triangulierung offener Mengen in ℝn

Als Triangulierung offener Mengen in $\mathbb {R} ^{n}$ werden bestimmte simpliziale Zerlegungen von Gebieten bezeichnet. Man spricht daher auch von einer Zerlegung offener Mengen in $\mathbb {R} ^{n}$. Mit $\mathbb {R} ^{n}$ ist der $n$-dimensionale Koordinatenraum mit den reellen Zahlen als Koordinaten gemeint. Solche Triangulierungen werden weiter klassifiziert und sind vor allem in der numerischen Berechnung (wie zum Beispiel bei der Finite-Elemente-Methode) wichtig.

Zulässige Triangulierung

Sei $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet, also eine offene, zusammenhängende Teilmenge. Weiter sei ${\mathcal {T}}=\left\{{\mathit {T}}_{1},{\mathit {T}}_{2},\dotsc ,{\mathit {T}}_{M}\right\}$ eine Triangulierung von $\Omega$, also eine Zerlegung in Simplizes.

${\mathcal {T}}$ heißt nun zulässig, falls gilt:

1. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ genau aus einem Punkt, so ist dieser Punkt ein Eckpunkt von ${\mathit {T}}_{i}$ und von ${\mathit {T}}_{j}$.
2. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ für $i\neq j$ aus mehr als einem Punkt, so ist ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ eine Kante von ${\mathit {T}}_{i}$ und ${\mathit {T}}_{j}$.

Quasiuniforme Triangulierung

Die Familie von Triangulierungen ${\mathcal {T}}_{h}$ heißt quasiuniform oder shape-regular , wenn es eine Zahl $\kappa >0$ gibt, so dass für jedes ${\mathit {T}}\in {\mathcal {T}}_{h}$ gilt $\kappa \geq {\tfrac {h_{T}}{\rho _{T}}}$. Dabei sind $h_{T}$ der halbe Durchmesser von ${\mathit {T}}$ und $\rho _{T}$ der Innendurchmesser des Elements ${\mathit {T}}$. ${\mathcal {T}}_{h}$ darf höchstens einen Durchmesser $2h$ haben (wobei $h$ die Gitterweite ist). Bei einer Dreieckszerlegung bedeutet dies, dass der minimale Innenwinkel aller Dreiecke nach unten beschränkt ist.

Uniforme Triangulierung

Die Familie von Triangulierungen ${\mathcal {T}}_{h}$ heißt uniform, wenn es eine Zahl $\kappa >0$ gibt, so dass für jedes ${\mathit {T}}\in {\mathcal {T}}_{h}$ gilt $\kappa \geq {\tfrac {h}{\rho _{T}}}$. ${\mathcal {T}}_{h}$ darf höchstens einen Durchmesser $2h$ haben. Uniformität verhindert eine extreme Verfeinerung in einem Teilgebiet.

Leider werden diese Definitionen nicht einheitlich verwendet, bei manchen Autoren bedeutet Quasiuniformität, dass eine Triangulierung die beiden genannten Eigenschaften besitzt.