σ-endliche Von-Neumann-Algebra

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σ-endliche Von-Neumann-Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Von-Neumann-Algebren mit einer zusätzlichen Abzählbarkeitseigenschaft. Die Bezeichnung σ-endlich ist maßtheoretisch motiviert, manche Autoren sprechen auch von abzählbar zerlegbaren Von-Neumann-Algebren.[1] Diese Von-Neumann-Algebren spielen eine wichtige Rolle in der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Eine Von-Neumann-Algebra heißt σ-endlich, falls jede Familie paarweise orthogonaler Projektionen höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält.[2] Dabei sind Projektionen Elemente mit und zwei solche Projektionen heißen orthogonal, falls ihr Produkt 0 ist.

Allgemeiner nennt man eine Projektion σ-endlich, wenn jede Familie paarweise orthogonaler Projektionen mit höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält. Dabei steht für . Demnach ist eine Von-Neumann-Algebra genau dann σ-endlich, wenn ihr Einselement als Projektion σ-endlich ist.

Beispiele

  • Eine Projektion einer Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum heißt zyklisch, falls es ein gibt, so dass die Orthogonalprojektion auf den von erzeugten abgeschlossenen Unterraum ist, wobei die Kommutante von bezeichnet. Zyklische Projektionen sind σ-endlich.[3]
  • Jede Projektion eines separablen Hilbertraums ist σ-endlich. Insbesondere ist jede Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum σ-endlich.
  • Der Begriff der σ-Endlichkeit einer Projektion hängt definitionsgemäß von einer Von-Neumann-Algebra ab. Ist z. B. ein nicht-separabler Hilbertraum, etwa der Folgenraum , so ist das Einselement nicht σ-endlich bzgl. der vollen Operatorenalgebra , wohl aber bzgl. der Von-Neumann-Algebra . Daher muss man im Zweifelsfall die betrachtete Von-Neumann-Algebra angeben.

Charakterisierung

Für die folgende Charakterisierung σ-endlicher Von-Neumann-Algebren benötigen wir den Begriff des erzeugenden und trennenden Vektors. Ist eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum , so heißt eine Teilmenge erzeugend, falls als abgeschlossener Unterraum von erzeugt wird. Ein einzelner Vektor heißt erzeugend, falls die einelementige Menge erzeugend ist. Eine Teilmenge trennend, falls aus und für alle bereits folgt. Ein einzelner Vektor heißt trennend, falls die einelementige Menge trennend ist. Man beachte, dass diese Begriffe immer relativ zu einer Von-Neumann-Algebra zu verstehen sind. Mit ihnen können σ-endliche Von-Neumann-Algebren wie folgt charakterisiert werden[4]:

Für eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist σ-endlich.
  • enthält eine abzählbare Teilmenge, die trennend für ist.
  • Es gibt einen treuen, normalen Zustand auf , das heißt ist ultraschwach stetig, , für alle und ist nur für möglich.
  • ist isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra , über einem möglicherweise anderen Hilbertraum , so dass es einen Vektor gibt, der für sowohl trennend als auch erzeugend ist.

Die Existenz des Vektors in der letzten Bedingung ist der Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Einzelnachweise

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Definition 5.5.14
  2. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Definition 2.5.1
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Satz 5.5.15
  4. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.24