σ-endliche Von-Neumann-Algebra

σ-endliche Von-Neumann-Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Von-Neumann-Algebren mit einer zusätzlichen Abzählbarkeitseigenschaft. Die Bezeichnung σ-endlich ist maßtheoretisch motiviert, manche Autoren sprechen auch von abzählbar zerlegbaren Von-Neumann-Algebren. Diese Von-Neumann-Algebren spielen eine wichtige Rolle in der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ heißt σ-endlich, falls jede Familie $(e_{i})_{i\in I}$ paarweise orthogonaler Projektionen $e_{i}\in A$ höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält. Dabei sind Projektionen Elemente $e\in A$ mit $e=e^{*}=e^{2}$ und zwei solche Projektionen $e_{1},e_{2}\in A$ heißen orthogonal, falls ihr Produkt 0 ist.

Allgemeiner nennt man eine Projektion $e\in A$ σ-endlich, wenn jede Familie $(e_{i})_{i\in I}$ paarweise orthogonaler Projektionen $e_{i}\in A$ mit $e_{i}\leq e$ höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält. Dabei steht $e_{i}\leq e$ für $e_{i}e=e_{i}$. Demnach ist eine Von-Neumann-Algebra genau dann σ-endlich, wenn ihr Einselement als Projektion σ-endlich ist.

Beispiele

• Eine Projektion $e\in A$ einer Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$ heißt zyklisch, falls es ein $\xi \in H$ gibt, so dass $e$ die Orthogonalprojektion auf den von $\{a'\xi ;\xi \in A'\}$ erzeugten abgeschlossenen Unterraum ist, wobei $A'$ die Kommutante von $A$ bezeichnet. Zyklische Projektionen sind σ-endlich.
• Jede Projektion eines separablen Hilbertraums ist σ-endlich. Insbesondere ist jede Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum σ-endlich.
• Der Begriff der σ-Endlichkeit einer Projektion hängt definitionsgemäß von einer Von-Neumann-Algebra ab. Ist z. B. $H$ ein nicht-separabler Hilbertraum, etwa der Folgenraum $H=\ell ^{2}(\mathbb {R} )$, so ist das Einselement $1=\mathrm {id} _{H}$ nicht σ-endlich bzgl. der vollen Operatorenalgebra $A=L(H)$, wohl aber bzgl. der Von-Neumann-Algebra $A=\mathbb {C} \cdot \mathrm {id} _{H}$. Daher muss man im Zweifelsfall die betrachtete Von-Neumann-Algebra angeben.

Charakterisierung

Für die folgende Charakterisierung σ-endlicher Von-Neumann-Algebren benötigen wir den Begriff des erzeugenden und trennenden Vektors. Ist $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$, so heißt eine Teilmenge $X\subset H$ erzeugend, falls $H$ als abgeschlossener Unterraum von $\{a'\xi ;\,a'\in A',\xi \in X\}$ erzeugt wird. Ein einzelner Vektor $\xi \in H$ heißt erzeugend, falls die einelementige Menge $\{\xi \}$ erzeugend ist. Eine Teilmenge $X\subset H$ trennend, falls aus $a\in A$ und $a\xi =0$ für alle $\xi \in X$ bereits $a=0$ folgt. Ein einzelner Vektor $\xi \in H$ heißt trennend, falls die einelementige Menge $\{\xi \}$ trennend ist. Man beachte, dass diese Begriffe immer relativ zu einer Von-Neumann-Algebra zu verstehen sind. Mit ihnen können σ-endliche Von-Neumann-Algebren wie folgt charakterisiert werden:

Für eine Von-Neumann-Algebra $A$ über einem Hilbertraum $H$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $A$ ist σ-endlich.
• $H$ enthält eine abzählbare Teilmenge, die trennend für $A$ ist.
• Es gibt einen treuen, normalen Zustand auf $f:A\rightarrow \mathbb {C}$, das heißt $f$ ist ultraschwach stetig, $f(1)=1$, $f(a^{*}a)\geq 0$ für alle $a\in A$ und $f(a^{*}a)=0$ ist nur für $a=0$ möglich.
• $A$ ist isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra $\pi (A)$, über einem möglicherweise anderen Hilbertraum $H_{\pi }$, so dass es einen Vektor $\xi \in H_{\pi }$ gibt, der für $\pi (A)$ sowohl trennend als auch erzeugend ist.

Die Existenz des Vektors $\xi \in H_{\pi }$ in der letzten Bedingung ist der Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.