Diskussion:Anfangswertproblem

Allgemeine Lösungsformel

Ich hätte eine allgemeine Lösungsformel für ein AWP der Form y' + a(x)y=r(x) anzubieten. Wäre die sinnvoll? Quelle:formelsammlung --Skygazer84.188.232.185 20:47, 12. Okt 2005 (CEST)

ohne anfangsbedingung ist das kein awp, sondern bloss eine lineare, inhomogene dgl erster ordnung. und darueber steht z.b. auf ode schon etwas. dort in der diskussion kannst du ja mal nachfragen, ob interesse besteht an einer loesungsformel. allerdings sieht mir dein beispiel zu speziell aus. wenn $a$ und $r$ stetige funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ sind, ist die loesungsformel nicht besonders spektakulaer.--seth 23:33, 12. Okt 2005 (CEST)

Verständlichkeit

• Was ein Anfangswert ist wird aus diesem Artikel nicht klar, auch aus dem verlinkten Artikel wird die besondere Bedeutung in der Mathematik mir nicht klar.
• Vieleicht wäre hier ein Anwendungsbeispiel und ein "einfaches" Rechenbeispiel angebracht.
• Mich wundert, dass ein Zeitpunkt t oben in der Formel auftaucht, in der allgemeinen Formel dagen nicht mehr.
• Zudem sind nicht alle wichtigten Symbole erklärt. Einige, z. B. D, sollten vieleicht in Textform erläutert werden. --source 17:10, 4. Mai 2008 (CEST)

Wurde dank der QS Mathematik überarbeitet. --Klara 07:43, 9. Mai 2008 (CEST)

Beispiele

Kann jemand Beispiele des "Alltages" nennen, bei denen die Lösung von Anfangwertproblemen interessant sind? --Abdull 18:09, 15. Feb. 2011 (CET)

Wie alltäglich sollen sie denn sein? Die Bewegung eines Körpers, auf den eine vom Ort abhängige Kraft wirkt, wird durch ein Anfangswertproblem beschrieben. Dazu gehört z.B. die Bewegung von Planeten und Satelliten, das Schwingen eines Pendels, ein Wagen, der unter dem Einfluss der Schwerkraft eine mal mehr, mal weniger geneigte Straße hinabrollt, ... --Digamma 19:36, 16. Feb. 2011 (CET)

Hallo Abdull, beim Verlinken bin ich zufällig auf diesen Artikel gestoßen, der nach meiner Auffassung vom Standpunkt der Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften) am Thema etwas vorbei geht. Die Antwort des Benutzers Digamma führt korrekt zur Beschreibung eines dynamischen Systems, lässt aber die Frage offen, wie es weiter geht.

1. Lösung einer Differenzialgleichung: Die gewöhnliche Differenzialgleichung beschreibt ein lineares Übertragungssystem mit n Energiespeichern durch n Ableitungen der Systemausgangsgröße y(t) und m Ableitungen der Eingangsgröße u(t) des Systems.
   Die Lösung einer DGL erfolgt durch Integration. Jede unbestimmte Integration ergibt Integrationskonstanten C_n, deren Anzahl durch die Ordnung n der DGL festgelegt ist. Die konventionelle Lösung einer inhomogenen DGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL y_H(t) mit u(t) = 0 und einer speziellen partikulären Lösung der inhomogenen DGL y_P(t) mit u(t) ≠ 0. Die Summe y(t) = y_H + y_P ergibt die Gesamtlösung. (Inhomogene DGL = DGL mit u(t) ≠ 0)
2. Die Anfangsbedingungen beschreiben einen speziellen Zustand des Übertragungssystems. Die homogene (charakteristische) DGL beschreibt das Verhalten ohne Eingangsgröße (also für u(t) = 0), das sogenannte. Eigenverhalten, d. h. das System bleibt ausgehend von den Anfangswerten sich selbst überlassen. Sind alle Anfangswerte der homogenen DGL gleich Null, ist die Lösung der DGL für y(t) auch gleich Null. Mit dem Lösungsansatz y = e^λ*t ergibt sich ein universelles Lösungsverfahren für die homogene Lösung der DGL-en beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.
   $y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+C_{3}\cdot e^{{\lambda }_{3}\cdot t}+\cdots$
   Die partikuläre Lösung der DGL eines Systems höherer Ordnung über das Faltungsintegral gestaltet sich schwierig. Einfacher wird die Lösung über die Laplace-Transformation und noch einfacher und wirkungsvoller mit Hilfe der numerischen Berechnung.
3. Definition Anfangswertproblem = Differenzialgleichung mit ihren zugehörigen Anfangswerten.
   Das eigentliche Anfangswertproblem besteht darin, mit den gegebenen Anfangswerten y₀ und y'₀ ... y⁽ⁿ⁾₀ und den Eigenwerten λ_n (Nullstellen) der DGL die Integrationskonstanten C_n zu berechnen. Die Anfangswerte werden in die Lösungsgleichung anstelle von y_H(t) eingesetzt. Dabei werden die Terme der DGL entsprechend der Ordnung differenziert und dann die Gleichungen für t=0 berechnet. Damit ergeben sich entsprechend der Ordnung n der DGL n Gleichungen, aus denen die Integrationskonstanten errechnet werden können.
4. Anwendung dynamisches System mit Anfangswerten:
   Der Zustand eines dynamischen Systems (z.B. Regelstrecke) ist durch den Energiegehalt der im System enthaltenen Energiespeicher bestimmt. Zu einem beliebigen Zeitpunkt t = t₀, der als Anfangszustand der Ausgangsgröße y(t) bezeichnet wird, folgt die Ausgangsgröße y(t) in Abhängigkeit des Anfangszustandes und des Eingangssignals u(t) für t>t₀ für beliebig lange Zeiten. Dazu wird die Vorgeschichte des Systems für t < 0 nicht benötigt.
   In der Regelungstechnik werden häufig Übertragungssysteme analysiert durch Aufzeichnung der Sprungantwort. Dabei wird meistens vorausgesetzt, dass sich das System in Ruhe befindet. Es gibt aber Anwendungen, bei denen die Speicher "Anfangswerte" haben oder das System bei Anfangswerten getestet werden sollen, um spezielle Aussagen zu treffen.
5. Numerische Lösung der Differenzialgleichung mit Anfangswerten
   Bei der numerischen Berechnung eines Übertragungssystems mit Anfangswerten oder ohne Anfangswerte ergibt sich das Anfangswertproblem nicht. Die numerische Berechnung bezieht sich dabei auf den Signalflussplan der Regelungsnormalform des Zustandsraumes. Dies entspricht im Prinzip dem Signalflussplan des Analogrechners. Die numerische Integration bezieht sich dabei auf ein bestimmtes Integral. Die Integrationsgrenzen beginnen mit den jeweiligen Anfangswerten und enden mit der gewünschten Betrachtungsdauer der rekursiven Berechnungsfolgen k*Δt. Die Integratoren werden zu Beginn der Berechnung auf die gewünschten Anfangswerte gesetzt. Die System-Ausgangsgröße y(t) entspricht immer der Addition der homogenen und partikulären Lösung der DGL.

Bei weiterem Interesse des Themas geben die Artikel Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften) und Zustandsraumdarstellung Auskunft.--HeinrichKü 09:40, 6. Jul. 2011 (CEST)

Der oben zitierte Teil bezieht sich auf den (sehr speziellen) Anwendungsfall "Anfangswertproblem für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen". Es gibt aber auch noch nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Ich denke, dieser Artikel sollte eher beschreiben, was ein Anfangswertproblem allgemein ist und wo es zur Anwendung kommt. Die Lösungstheorie selbst würde ich den "nachgelagerten" Artikeln überlassen, die sich mit spezielleren Typen von Differentialgleichungen beschäftigen. Die oben angemahnten "Anwendungsbeispiele" vermisse ich allerdings auch, zudem sollte der Artikel dringend weg von seiner Zentrierung auf gewöhnliche Differentialgleichungen.--KMic 05:10, 8. Jul. 2011 (CEST)

Hallo KMic, schade dass ich nicht aus Deiner Benutzerseite sehen kann, ob Du fachlich den Mathematikern oder Physikern nahestehst.

Aus der Sicht der Systemtheorie und der Regelungstechnik handelt es sich bei der "gewöhnlichen DGL mit konstanten Koeffizienten" zwar um eine "sehr spezielle" Form der DGL, aber Du hast vergessen zu erwähnen, dass diese Form der DGL in der Technik ein "sehr breites" Anwendungsgebiet hat. Fachbücher der Regelungstechnik widmen der Darstellung der Laplace-transformierten gewöhnlichen Differenzialgleichung im s-Bereich - der Übertragungsfunktion - einen breiten Raum ein.

Andererseits wird in sehr vielen Vorlesungsmanuskripten deutscher Universitäten zwar auf partielle DGL bei Systemen mit verteilten Speichern hingewiesen, aber Anwendungen werden nicht besprochen. Das Problem liegt wohl darin, dass bei Anwendung eines Praxisbeispiels eines Systems mit verteilen Speichern z.B. der "Wärmefluss in einem homogenen Medium" sehr schwer von seiner Umgebung als abgegrenzter Raum zu definieren ist.

Noch mehr wundere ich mich, wenn in der Fachliteratur manchmal bei Laufzeit- bzw. Totzeitsystemen die Angabe gemacht wird, dass Totzeitsysteme mit der partiellen DGL beschrieben werden. Wenn die Totzeit Tt eines Systems bekannt ist, dann stehen keine weiteren zeitabhängigen Parameter zur Verfügung. Für Systemberechnungen f(t) mit der Totzeit kann die Padé-Approximation für gebrochene rationale Übertragungsfunktionen oder die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit angewendet werden. So ähnlich sieht das auch der renommierte Fachbuchautor Prof. Dr. Ing. Jan Lunze der UNI Bochum: Regelungstechnik 1 und 2. "Die Erweiterung der bisher betrachteten Systeme (im Zustandsraum) durch Totzeitglieder bereitet in der Zustandsraumdarstellung Schwierigkeiten". (Verkürzte Fortsetzung:) "Abhilfe: ....wenn die Totzeit Tt ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastzeit T ist".

Dein Vorschlag, für die Lösungstheorie von Anfangswertproblemen "nachgelagerten Artikeln" zu überlassen, stellt sich bei mir die Frage, was steht denn dann im Artikel "Anfangswertproblem"? Die Wikipedia-Richtlinien besagen: "Enzyklopädie von bestmöglicher Qualität zu schaffen",... "soll so allgemeinverständlich wie möglich sein, aber das jeweilige Thema in angemessener Breite und Tiefe darstellen". ." Die Größe eines Artikels ist nicht beschränkt.

Einen Artikel "Anfangswertproblem" - wie vorhanden - auf ca. einer Seite DIN A4 zu gestalten, zeigt nicht mal die wichtigsten Begriffe dieses Themas für die gewöhnliche DGL. Noch schlimmer liest sich für mich der Artikel "Gewöhnliche Differenzialgleichung", der frei von jeder physikalischen Erklärung ist.

Ich würde mich freuen, wenn Du mir auch etwas über "Totzeitsysteme mit der Beschreibung partieller DGL" sagen könntest. Gruß --HeinrichKü 09:17, 12. Jul. 2011 (CEST)

Partielle Differentialgleichungen

Ich habe den zurecht als fehlend beanstandeten Teil über partielle Differentialgleichungen erstellt. Der Qualitätsbaustein ist meiner Meinung nach damit hinfällig. Wenn noch etwas fehlen sollte, wäre ich für einen konkreten Hinweis oder besser noch eine entsprechende Ergänzung dankbar.--FerdiBf 22:32, 7. Nov. 2011 (CET)

Gehört das nicht eher zum Randwertproblem? Weil, was ist der Anfang vom Rand eines Gebietes? Wärmeleitungsgleichung oder Schwingungsgleichung auf einem beschränkten Gebiet wird ja schon vom Abschnitt vorher mit erfasst.--LutzL 19:55, 8. Nov. 2011 (CET)

Wenn dieser Rand die Menge t=0 ist, so werden die Verhältnisse zur Zeit t=0 vorgeschrieben, und das nennt man gemeinhin ein Anfangswertproblem. Außerdem verlinkt "Cauchy-Problem" auf diesen Artikel, und bei meiner Ergänzung handelt es sich ohne Zweifel um das Cauchy-Problem in mehreren Veränderlichen. Meiner Meinung nach gehört das hierhin.--FerdiBf 20:54, 8. Nov. 2011 (CET)

Ja. Ich muss geduldiger lesen. Es könnte aber am Anfang etwas klarer werden, dass die Randbedingungen auf einer Art nach einer Seite offener zylindrischen Menge gegeben sind. Mir erscheint der Anfang des Abschnittes als ein zu großer Sprung im Verhältnis zum vorhergehenden Inhalt. Evtl. wäre es auch besser, den zylindrischen Fall direkt am Anfang als Spezialfall des vorhergehenden Abschnittes darzustellen und erst danach auf die Verallgemeinerung mit krummen Koordinaten einzugehen. Oder etwas, radikaler, nur die schwingende Saite als Spezialfall und das allgemeine Problem als eigenen Artikel. Wobei dann aber wieder Leute fragen könnten, warum das kein Abschnitt hier ist. ... --LutzL 13:01, 9. Nov. 2011 (CET)

Ein Sprung wird sich hier prinzipiell wohl nicht vermeiden können, zwischen einer und mehreren Variablen liegen nun einmal Welten. Ich werde mal über ein einfaches Beispiel nachdenken, das man als Motivation voranstellen kann. Wenn Du da Präferenzen und sogar ein Beispiel zur Hand hättest, bitte sehr. Den allgemeinen Fall in einen eigenen Artikel auszulagern halte ich wegen der offensichtlichen thematischen Zusammengehörigkeit für nicht sinnvoll. Solange die Komplexität nach hinten hin zunimmt, kann jeder Leser ja selbst sehen, wie weit er kommt. Wer sich nur für eine Variable interssiert, kann immerhin noch mitnehmen, dass es da noch mehr gibt, er muss es ja nicht kennen wollen.--FerdiBf 16:37, 12. Nov. 2011 (CET)

Links zu anderen Sprachen

Bei den Links zu anderen Sprachen gibt es sozusagen zwei Listen an Links, einmal zum Cauchy problem und einmal zum Anfangswertproblem (offenbar da im deutschen Artikel beide Begriffe zusammen erklärt werden, es in anderen Sprachen aber separate Seiten gibt). Manche Sprachen (wie Englisch) kommen also sogar zweimal vor. Ist dies Konvention dies so zu machen? Es erscheint mir ziemlich unschön. --Vilietha (Diskussion) 09:19, 2. Mai 2012 (CEST)

Laut englischem Artikel en:Cauchy problem ist ein solches ein Anfangswert- oder ein Randwertproblem. Falls das zutrifft, müssten hier nicht nur Interwikilinks geändert werden, sondern der Artikeltext. – Rainald62 (Diskussion) 00:24, 24. Sep. 2012 (CEST)

Das Lexikon der Mathematik aus dem Spektrumverlag meint, dass ein Cauchy-Problem ein Anfangswertproblem für gewöhnliche DGL bzw. eine entsprechende Analogie für partielle DGL sei. Von Randwertproblemen steht dort nichts.--Christian1985 (Disk) 10:47, 24. Sep. 2012 (CEST)

Vielleicht kann sich FerdiBF dazu äußern. Sein "Wenn dieser Rand die Menge t=0 ist,..." passt nicht zu meinem Begriff von "Rand". – Rainald62 (Diskussion) 00:48, 25. Sep. 2012 (CEST)