Wikiup:Archiv/Hilfe:Mathematische Symbole

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In der Mathematik werden in Formeln und Gleichungen gewisse Symbole häufig verwendet. Die folgende Tabelle stellt eine Orientierungshilfe dar.

• Angeführt wird zu jedem Symbol der Name, die Sprechweise und das Teilgebiet der Mathematik, in dem das Symbol hauptsächlich verwendet wird.
• Zusätzlich enthält die zweite Zeile eine informelle Definition und die dritte Zeile ein kurzes Beispiel zur Erläuterung der Verwendung.

Tabelle der Symbole

Anmerkung: Wenn einige der Symbole der Spalte „Symbol (html)“ nicht richtig dargestellt werden, dann implementiert Ihr Browser die HTML 4-character entities nicht vollständig. Mit Mozilla funktioniert es, sofern alle notwendigen Schriftarten installiert sind. Symbole in der Spalte „Symbol (TeX)“ werden immer korrekt dargestellt.

TeX: Symbol, Code	Uni- und HTML-Code:	Name	Sprechweise
$\Rightarrow$ \Rightarrow	⇒ ⇒	Implikation	impliziert; wenn ... dann; aus ... folgt, dass ...
		A ⇒ B bedeutet: wenn A wahr ist, dann ist B auch wahr; wenn A falsch ist dann ist über B nichts gesagt. Manchmal wird → statt ⇒ verwendet
		x = 2  ⇒  x2 = 4 ist wahr, aber x2 = 4   ⇒  x = 2 ist i.A. falsch (da x = −2 sein könnte)
$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow	⇔ ⇔	Äquivalenz	genau dann wenn
		A ⇔ B bedeutet: A ist wahr, wenn B wahr ist, und A ist falsch, wenn B falsch ist
		x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y
$\wedge$ \wedge	∧ ∧	Konjunktion	und
		A ∧ B ist wahr, wenn A und B wahr sind; ansonsten falsch
		n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3, wenn n eine natürliche Zahl ist
$\vee$ \vee	∨ &or;	Disjunktion	oder
		A ∨ B ist wahr, wenn A oder B (oder beide) wahr sind; wenn beide falsch sind, ist die Aussage falsch
		n ≥ 4 ∨  n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3, wenn n eine natürliche Zahl ist
${\dot {\vee }}$ \dot\vee	⩒	Kontravalenz
		A ⩒ B ist wahr, wenn entweder A oder B (aber nicht beide) wahr sind; wenn beide falsch oder beide wahr sind, ist die Aussage falsch
		n ≥ 4  ⩒   n ≤ 6  ⇔ n ≠ 4, 5, 6, wenn n eine natürliche Zahl ist
$\neg$ \neg	¬ &not;	Negation	nicht
		¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist Wird ein anderer Operator durchgestrichen (/), bedeutet das das gleiche wie wenn man ein ¬ davorsetzt
		¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S  ⇔  ¬(x ∈ S)
$\forall$ \forall	∀ &forall;	Allquantor	für alle ... gilt
		∀ x: P(x) bedeutet: P(x) ist wahr für alle x
		∀ n ∈ N: n2 ≥ n
$\exists$ \exists	∃ &exist;	Existenzquantor	es gibt ein ..., so dass
		∃ x: P(x) bedeutet: Es gibt mindestens ein x, so dass P(x) wahr ist
		∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
$=$	=	Gleichung	ist gleich
		x = y bedeutet: x und y bezeichnen dasselbe.
		1 + 2 = 6 − 3
${\dot {=}}$ \dot=	≐ &#8784;	Rundung	ist gerundet gleich
		x ≐ y bedeutet: y ist ein gerundeter Wert von x; y ist dabei keine Zahl, sondern eine Ziffernfolge
		$\pi {\dot {=}}3{,}1416$, $\pi {\dot {=}}3{,}14159$ und $\pi {\dot {=}}3{,}141593$ sind wahr; $\{x\mid x{\dot {=}}1\}=[0{,}5;1{,}5)$, aber $\{x\mid x{\dot {=}}1{,}0\}=[0{,}95;1{,}05)$
$:=$, $:\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow	:=, :⇔	Definition	ist definiert als
		x := y bedeutet: x kann fortan anstatt y geschrieben werden P :⇔ Q bedeutet: P ist nach der Definition logisch äquivalent zu Q
		cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
$\equiv$ \equiv	≡ &equiv;	logische Äquivalenz, Identität, Kongruenz (Zahlentheorie)	ist logisch äquivalent zu, ist identisch mit, ist kongruent
		$A\equiv B$ genau dann, wenn $A\Leftrightarrow B$ eine Tautologie ist.
$\{,\}$	{ , }	Mengenklammern
		{a, b, c} bedeutet: die Menge, bestehend aus a, b, und c
		N = {0, 1, 2, ...}
$\{:\}$, $\{|\}$	{ : }, { | }	Mengenbildung	die Menge aller ... für die gilt ...
		{x : P(x)} bedeutet: die Menge aller x, für die P(x) wahr ist. {x | P(x)} ist das gleiche wie {x : P(x)}.
		{n ∈ N : n2 < 20} = {0, 1, 2, 3, 4}
$\emptyset$, $\{\}$ \emptyset	∅, {} &empty;	leere Menge	leere Menge
		{} bedeutet genauso wie ∅: die Menge ohne Elemente. Die Schreibweise {} wird hauptsächlich an Schulen verwendet.
		{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = {}
$\in$, $\notin$ \in \notin	∈, ∉ &isin;, &notin;	Element	ist in; ist Element von; ist aus; aus;
		a ∈ S bedeutet: a ist ein Element der Menge S; a ∉ S bedeutet: a ist kein Element von S
		(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N
$\subseteq$ $\subsetneq$ $\subset$ \subseteq \subsetneq \subset	⊆ ⊊ ⊂	Teilmenge	ist eine (echte) Teilmenge von
		A ⊆ B bedeutet: Jedes Element von A ist auch Element von B A ⊊ B bedeutet: A ⊆ B aber A ≠ B A ⊂ B bedeutet (je nach Definition!): 1.) A ⊆ B oder 2.) A ⊊ B
		A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
$\cup$ \cup	∪	Vereinigungsmenge	Vereinigung aus ... und ...; ... vereinigt mit ...
		A ∪ B bedeutet: die Menge, die sowohl alle Elemente aus A als auch B enthält, aber sonst keine
		A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B
$\cap$ \cap	∩	Schnittmenge	Durchschnitt aus ... und ...; ... geschnitten mit ...
		A ∩ B bedeutet: Die Menge, die alle Elemente enthält, die in A und B enthalten sind
		{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}
$\setminus$ \setminus	\	Differenzmenge	minus; ohne
		A \ B bedeutet: die Menge aller Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind
		{1, 2, 3, 4} \ {3, 4, 5, 6} = {1, 2}
$\times$ \times	×	kartesisches Produkt |	A Kreuz B
		A×B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a∈A und b∈B.
		A = {a1, a2}; B = {b1, b2}; A×B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}
${\mathcal {P}}\left(X\right)$ \mathcal{P}\left( X \right)	P(X)	Potenzmenge	Potenzmenge von X
		P(X) ist die Potenzmenge von X, also die Menge aller Teilmengen von X.
		X = {a, b}; P(X) = {{a, b}, {a}, {b}, {}} = {X, {a}, {b}, ∅}
$()$ $[]$ $\{\}$	( ) [ ] { }	Funktionsanwendung; Gruppierung	von
		f(x) bedeutet: Der Wert, den die Funktion f für das Element x liefert Gruppierung: Operationen innerhalb der Klammer zuerst ausführen
		Wenn f(x) := x2, dann ist f(3) = 32 = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, aber 8/(4/2) = 8/2 = 4
		[x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner ist als x. Zum Beispiel ist $[15{,}8]=15,\quad [\pi ]=3,\quad [-18{,}2]=-19$.
$\to$ \to	→	Funktionspfeil	von ... nach/auf/in
		f: X → Y bedeutet: Die Funktion f bildet die Menge X auf die Menge Y ab
		Wenn f(x) = x2, dann könnte man z.B. f: Z → N annehmen
$\mapsto$ \mapsto	↦	Abbildungspfeil	wird abgebildet auf
		x ↦ f(x) bedeutet: Das Argument x wird auf f(x) abgebildet.
		Wenn f(x) = x2, dann kann man das auch als f: x ↦ x2 schreiben.
$\mathbb {N}$ \mathbb{N}	N oder ℕ &#8469;	Natürliche Zahlen	N
		$\mathbb {N} _{0}$ bedeutet: {0, 1, 2, 3, ...}, $\mathbb {N} ^{+}$ bedeutet: {1, 2, 3, ...}. $\mathbb {N}$ wird je nach Anwendungsfall identisch mit $\mathbb {N} _{0}$ oder $\mathbb {N} ^{+}$ definiert. Neuere Literatur nennt 0 eher als natürliche Zahl.
		{|a| : a ∈ Z} = N
$\mathbb {Z}$ \mathbb{Z}	Z oder ℤ	Ganze Zahlen	Z
		Z bedeutet: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
		{a : |a| ∈ N} = Z
$\mathbb {Q}$ \mathbb{Q}	Q oder ℚ	Rationale Zahlen	Q
		Q bedeutet: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}
		3,14 ∈ Q; π ∉ Q
$\mathbb {R}$ \mathbb{R}	R oder ℝ	Reelle Zahlen	R
		R bedeutet: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, der Grenzwert existiert}
		π ∈ R; √(−1) ∉ R
$\mathbb {C}$ \mathbb{C}	C oder ℂ	Komplexe Zahlen
		C bedeutet: {a + bi : a,b ∈ R}
		i ist eine Zahl, die quadriert -1 ergibt. Die Notation i = √(−1) sollte aber nicht verwendet werden, sie führt zu Problemen.
$<$ $>$	< >	Vergleich	ist kleiner als, ist größer als
		x < y bedeutet: x ist kleiner als y; x > y bedeutet: x ist größer als y
		x < y  ⇔  y > x
$\leq$ $\geq$ \le \ge	≤ oder ≦ ≥ oder ≧	Vergleich	ist kleiner gleich, ist größer gleich
		x ≤ y bedeutet: x ist kleiner oder gleich y; x ≥ y bedeutet: x ist größer oder gleich y
		x ≥ 1  ⇒  x2 ≥ x
${\sqrt {\quad }}$ \sqrt{\quad}	√	Quadratwurzel	die Wurzel aus ...
		√x bedeutet: die nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich x ist.
		√(x2) = |x|
$\infty$ \infty	∞	Unendlichkeit	unendlich
		∞ bedeutet: eine fiktive Zahl, die größer ist als alle reellen Zahlen; sie tritt häufig bei der Bildung von Grenzwerten auf
		limx→0 1/|x| = ∞
$\pi$ \pi	π	Kreiszahl pi	pi
		π bedeutet: das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.
		A = πr² ist die Fläche eines Kreises mit Radius r
$|\dots |$	|...|	Absolutwert oder Mächtigkeit	Absolutwert von ...; Betrag von ...
		|x| bedeutet: der Abstand der Zahl x von 0 auf der Zahlengeraden (oder auf der komplexen Zahlenebene) |A| bedeutet "Mächtigkeit der Menge A". Bei endlichen Mengen ist dies die Anzahl der Elemente in der Menge.
		$|a+b|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ (in der Euklidischen Norm)
$\|\dots \|$ \|...\|	||...||	Norm eines Vektors	Norm von ...
		Die Norm eines Vektors ist eine Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge des Vektors. Sie ist damit eine Funktion ähnlich der Betragsfunktion.
$\sum$ \sum	∑	Summe	Summe über ... für ... von ... bis ...
		$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ liest man als "Summe über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck bedeutet: a1 + a2 + ... + an Das Symbol ∑ entspricht dem groß geschriebenen griechischen Buchstaben Sigma.
		$\sum _{k=1}^{4}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30$
$\prod$ \prod	∏	Produkt	Produkt über ... für ... von ... bis ...
		$\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ liest man als "Produkt über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck bedeutet: a1·a2·...·an Das Symbol ∏ entspricht dem groß geschriebenen griechischen Buchstaben Pi.
		$\prod _{k=1}^{4}(k+2)=(1+2)\cdot (2+2)\cdot (3+2)\cdot (4+2)=360$
$\int dx$ \int dx	∫	Integral	Integral (von ... bis ...) über ... d-...
		$\int _{a}^{b}f(x)dx$ liest man als "Integral von a bis b über f von x dx", der Ausdruck bedeutet: die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f zwischen x = a und x = b $\int f(x)dx$ liest man als "Integral über f von x dx", der Ausdruck bezeichnet eine Stammfunktion von f
		$\int _{0}^{b}x^{2}dx=b^{3}/3$; $\int x^{2}dx=x^{3}/3$
$\propto$ \propto	∝	Proportionalität	... ist proportional zu ...
		Gilt $y\propto x$ („y ist proportional zu x“), so gilt mit einer Konstanten m auch $y=mx$.
$\lfloor$$\rfloor$ \lfloor \rfloor	⌊ ⌋	Abrundungsfunktion
		Für eine reelle Zahl $x$ ist $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.
$\lceil$$\rceil$ \lceil \rceil	⌈ ⌉	Aufrundungsfunktion	Aufrundung
		Für eine reelle Zahl $x$ ist $\lceil x\rceil$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich $x$ ist.
$\vert$; $\vert _{a}$; $\vert _{a}^{b}$ \vert \vert_a \vert_a^b	|	Funktionsauswertung
		...
		...

Siehe auch

• Mathematische Symbole
• Formelsatz
• Zahl, Ziffer, Formelzeichen, Operator
• Griechisches Alphabet, dessen Buchstaben in der Mathematik oft verwendet werden (Aussprache)
• TeX, eine Auszeichnungssprache
• Die Verwendung von TeX in der Wikipedia sowie eine Referenz über die verfügbaren Tex-Symbole siehe Hilfe:TeX

Normen

• ISO 31-11 Mathematische Zeichen und Symbole
• DIN 1304-1 Allgemeine Formelzeichen
• DIN 1302 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
• DIN 1313 Physikalische Größen und Gleichungen
• DIN 1338 Formelschreibweise

Literatur

• Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.