Wikiup:Archiv/Hilfe:Mathematische Symbole
In der Mathematik werden in Formeln und Gleichungen gewisse Symbole häufig verwendet. Die folgende Tabelle stellt eine Orientierungshilfe dar.
- Angeführt wird zu jedem Symbol der Name, die Sprechweise und das Teilgebiet der Mathematik, in dem das Symbol hauptsächlich verwendet wird.
- Zusätzlich enthält die zweite Zeile eine informelle Definition und die dritte Zeile ein kurzes Beispiel zur Erläuterung der Verwendung.
Tabelle der Symbole
Anmerkung: Wenn einige der Symbole der Spalte „Symbol (html)“ nicht richtig dargestellt werden, dann implementiert Ihr Browser die HTML 4-character entities nicht vollständig. Mit Mozilla funktioniert es, sofern alle notwendigen Schriftarten installiert sind. Symbole in der Spalte „Symbol (TeX)“ werden immer korrekt dargestellt.
TeX: Symbol, Code | Uni- und HTML-Code: | Name | Sprechweise |
---|---|---|---|
\Rightarrow |
⇒ ⇒ |
Implikation | impliziert; wenn ... dann; aus ... folgt, dass ... |
A ⇒ B bedeutet: wenn A wahr ist, dann ist B auch wahr; wenn A falsch ist dann ist über B nichts gesagt. Manchmal wird → statt ⇒ verwendet | |||
x = 2 ⇒ x2 = 4 ist wahr, aber x2 = 4 ⇒ x = 2 ist i.A. falsch (da x = −2 sein könnte) | |||
\Leftrightarrow |
⇔ ⇔ |
Äquivalenz | genau dann wenn |
A ⇔ B bedeutet: A ist wahr, wenn B wahr ist, und A ist falsch, wenn B falsch ist | |||
x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y | |||
\wedge |
∧ ∧ |
Konjunktion | und |
A ∧ B ist wahr, wenn A und B wahr sind; ansonsten falsch | |||
n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3, wenn n eine natürliche Zahl ist | |||
\vee |
∨ ∨ |
Disjunktion | oder |
A ∨ B ist wahr, wenn A oder B (oder beide) wahr sind; wenn beide falsch sind, ist die Aussage falsch | |||
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3, wenn n eine natürliche Zahl ist | |||
\dot\vee |
⩒ | Kontravalenz | |
A ⩒ B ist wahr, wenn entweder A oder B (aber nicht beide) wahr sind; wenn beide falsch oder beide wahr sind, ist die Aussage falsch | |||
n ≥ 4 ⩒ n ≤ 6 ⇔ n ≠ 4, 5, 6, wenn n eine natürliche Zahl ist | |||
\neg |
¬ ¬ |
Negation | nicht |
¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist Wird ein anderer Operator durchgestrichen (/), bedeutet das das gleiche wie wenn man ein ¬ davorsetzt | |||
¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S) | |||
\forall |
∀ ∀ |
Allquantor | für alle ... gilt |
∀ x: P(x) bedeutet: P(x) ist wahr für alle x | |||
∀ n ∈ N: n2 ≥ n | |||
\exists |
∃ ∃ |
Existenzquantor | es gibt ein ..., so dass |
∃ x: P(x) bedeutet: Es gibt mindestens ein x, so dass P(x) wahr ist | |||
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n | |||
= | Gleichung | ist gleich | |
x = y bedeutet: x und y bezeichnen dasselbe. | |||
1 + 2 = 6 − 3 | |||
\dot= |
≐ ≐ |
Rundung | ist gerundet gleich |
x ≐ y bedeutet: y ist ein gerundeter Wert von x; y ist dabei keine Zahl, sondern eine Ziffernfolge | |||
, und sind wahr; , aber | |||
, \Leftrightarrow |
:=, :⇔ | Definition | ist definiert als |
x := y bedeutet: x kann fortan anstatt y geschrieben werden P :⇔ Q bedeutet: P ist nach der Definition logisch äquivalent zu Q | |||
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) | |||
\equiv |
≡ ≡ |
logische Äquivalenz, Identität, Kongruenz (Zahlentheorie) | ist logisch äquivalent zu, ist identisch mit, ist kongruent |
genau dann, wenn eine Tautologie ist. | |||
{ , } | Mengenklammern | ||
{a, b, c} bedeutet: die Menge, bestehend aus a, b, und c | |||
N = {0, 1, 2, ...} | |||
, | { : }, { | } | Mengenbildung | die Menge aller ... für die gilt ... |
{x : P(x)} bedeutet: die Menge aller x, für die P(x) wahr ist. {x | P(x)} ist das gleiche wie {x : P(x)}. | |||
{n ∈ N : n2 < 20} = {0, 1, 2, 3, 4} | |||
, \emptyset |
∅, {} ∅ |
leere Menge | leere Menge |
{} bedeutet genauso wie ∅: die Menge ohne Elemente. Die Schreibweise {} wird hauptsächlich an Schulen verwendet. | |||
{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = {} | |||
, \in \notin |
∈, ∉ ∈, ∉ |
Element | ist in; ist Element von; ist aus; aus; |
a ∈ S bedeutet: a ist ein Element der Menge S; a ∉ S bedeutet: a ist kein Element von S | |||
(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N | |||
\subseteq \subsetneq \subset |
⊆ ⊊ ⊂ |
Teilmenge | ist eine (echte) Teilmenge von |
A ⊆ B bedeutet: Jedes Element von A ist auch Element von B A ⊊ B bedeutet: A ⊆ B aber A ≠ B A ⊂ B bedeutet (je nach Definition!): 1.) A ⊆ B oder 2.) A ⊊ B | |||
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R | |||
\cup |
∪ | Vereinigungsmenge | Vereinigung aus ... und ...; ... vereinigt mit ... |
A ∪ B bedeutet: die Menge, die sowohl alle Elemente aus A als auch B enthält, aber sonst keine | |||
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B | |||
\cap |
∩ | Schnittmenge | Durchschnitt aus ... und ...; ... geschnitten mit ... |
A ∩ B bedeutet: Die Menge, die alle Elemente enthält, die in A und B enthalten sind | |||
{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1} | |||
\setminus |
\ | Differenzmenge | minus; ohne |
A \ B bedeutet: die Menge aller Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind | |||
{1, 2, 3, 4} \ {3, 4, 5, 6} = {1, 2} | |||
\times |
× | kartesisches Produkt | | A Kreuz B |
A×B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a∈A und b∈B. | |||
A = {a1, a2}; B = {b1, b2}; A×B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)} | |||
\mathcal{P}\left( X \right) |
P(X) | Potenzmenge | Potenzmenge von X |
P(X) ist die Potenzmenge von X, also die Menge aller Teilmengen von X. | |||
X = {a, b}; P(X) = {{a, b}, {a}, {b}, {}} = {X, {a}, {b}, ∅} | |||
( ) [ ] { } |
Funktionsanwendung; Gruppierung | von | |
f(x) bedeutet: Der Wert, den die Funktion f für das Element x liefert Gruppierung: Operationen innerhalb der Klammer zuerst ausführen | |||
Wenn f(x) := x2, dann ist f(3) = 32 = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, aber 8/(4/2) = 8/2 = 4 | |||
[x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner ist als x. Zum Beispiel ist . | |||
\to |
→ | Funktionspfeil | von ... nach/auf/in |
f: X → Y bedeutet: Die Funktion f bildet die Menge X auf die Menge Y ab | |||
Wenn f(x) = x2, dann könnte man z.B. f: Z → N annehmen | |||
\mapsto |
↦ | Abbildungspfeil | wird abgebildet auf |
x ↦ f(x) bedeutet: Das Argument x wird auf f(x) abgebildet. | |||
Wenn f(x) = x2, dann kann man das auch als f: x ↦ x2 schreiben. | |||
\mathbb{N} |
N oder ℕ ℕ |
Natürliche Zahlen | N |
bedeutet: {0, 1, 2, 3, ...},
bedeutet: {1, 2, 3, ...}. | |||
{|a| : a ∈ Z} = N | |||
\mathbb{Z} |
Z oder ℤ | Ganze Zahlen | Z |
Z bedeutet: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} | |||
{a : |a| ∈ N} = Z | |||
\mathbb{Q} |
Q oder ℚ | Rationale Zahlen | Q |
Q bedeutet: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0} | |||
3,14 ∈ Q; π ∉ Q | |||
\mathbb{R} |
R oder ℝ | Reelle Zahlen | R |
R bedeutet: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, der Grenzwert existiert} | |||
π ∈ R; √(−1) ∉ R | |||
\mathbb{C} |
C oder ℂ | Komplexe Zahlen | |
C bedeutet: {a + bi : a,b ∈ R} | |||
i ist eine Zahl, die quadriert -1 ergibt. Die Notation i = √(−1) sollte aber nicht verwendet werden, sie führt zu Problemen. | |||
< > |
Vergleich | ist kleiner als, ist größer als | |
x < y bedeutet: x ist kleiner als y; x > y bedeutet: x ist größer als y | |||
x < y ⇔ y > x | |||
\le \ge |
≤ oder ≦ ≥ oder ≧ |
Vergleich | ist kleiner gleich, ist größer gleich |
x ≤ y bedeutet: x ist kleiner oder gleich y; x ≥ y bedeutet: x ist größer oder gleich y | |||
x ≥ 1 ⇒ x2 ≥ x | |||
\sqrt{\quad} |
√ | Quadratwurzel | die Wurzel aus ... |
√x bedeutet: die nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich x ist. | |||
√(x2) = |x| | |||
\infty |
∞ | Unendlichkeit | unendlich |
∞ bedeutet: eine fiktive Zahl, die größer ist als alle reellen Zahlen; sie tritt häufig bei der Bildung von Grenzwerten auf | |||
limx→0 1/|x| = ∞ | |||
\pi |
π | Kreiszahl pi | pi |
π bedeutet: das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. | |||
A = πr² ist die Fläche eines Kreises mit Radius r | |||
|...| | Absolutwert oder Mächtigkeit | Absolutwert von ...; Betrag von ... | |
|x| bedeutet: der Abstand der Zahl x von 0 auf der Zahlengeraden (oder auf der komplexen Zahlenebene) |A| bedeutet "Mächtigkeit der Menge A". Bei endlichen Mengen ist dies die Anzahl der Elemente in der Menge. | |||
(in der Euklidischen Norm) | |||
\|...\| |
||...|| | Norm eines Vektors | Norm von ... |
Die Norm eines Vektors ist eine Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge des Vektors. Sie ist damit eine Funktion ähnlich der Betragsfunktion. | |||
\sum |
∑ | Summe | Summe über ... für ... von ... bis ... |
liest man als "Summe über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck bedeutet: a1 + a2 + ... + an | |||
| |||
\prod |
∏ | Produkt | Produkt über ... für ... von ... bis ... |
liest man als "Produkt über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck
bedeutet: a1·a2·...·an | |||
| |||
\int dx |
∫ | Integral | Integral (von ... bis ...) über ... d-... |
liest man als "Integral von a bis b über f von x dx", der Ausdruck bedeutet: die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f zwischen x = a und x = b | |||
; | |||
\propto |
∝ | Proportionalität | ... ist proportional zu ... |
Gilt („y ist proportional zu x“), so gilt mit einer Konstanten m auch . | |||
\lfloor \rfloor |
⌊ ⌋ | Abrundungsfunktion | |
Für eine reelle Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist. | |||
\lceil \rceil |
⌈ ⌉ | Aufrundungsfunktion | Aufrundung |
Für eine reelle Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist. | |||
; ; \vert \vert_a \vert_a^b |
| | Funktionsauswertung | |
... | |||
... |
Siehe auch
- Mathematische Symbole
- Formelsatz
- Zahl, Ziffer, Formelzeichen, Operator
- Griechisches Alphabet, dessen Buchstaben in der Mathematik oft verwendet werden (Aussprache)
- TeX, eine Auszeichnungssprache
- Die Verwendung von TeX in der Wikipedia sowie eine Referenz über die verfügbaren Tex-Symbole siehe Hilfe:TeX
Normen
- ISO 31-11 Mathematische Zeichen und Symbole
- DIN 1304-1 Allgemeine Formelzeichen
- DIN 1302 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
- DIN 1313 Physikalische Größen und Gleichungen
- DIN 1338 Formelschreibweise
Literatur
- Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.