Wikiup:Archiv/Hilfe:Mathematische Symbole

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In der Mathematik werden in Formeln und Gleichungen gewisse Symbole häufig verwendet. Die folgende Tabelle stellt eine Orientierungshilfe dar.

  • Angeführt wird zu jedem Symbol der Name, die Sprechweise und das Teilgebiet der Mathematik, in dem das Symbol hauptsächlich verwendet wird.
  • Zusätzlich enthält die zweite Zeile eine informelle Definition und die dritte Zeile ein kurzes Beispiel zur Erläuterung der Verwendung.

Tabelle der Symbole

Anmerkung: Wenn einige der Symbole der Spalte „Symbol (html)“ nicht richtig dargestellt werden, dann implementiert Ihr Browser die HTML 4-character entities nicht vollständig. Mit Mozilla funktioniert es, sofern alle notwendigen Schriftarten installiert sind. Symbole in der Spalte „Symbol (TeX)“ werden immer korrekt dargestellt.

TeX: Symbol, Code Uni- und HTML-Code: Name Sprechweise

\Rightarrow

&rArr;
Implikation impliziert; wenn ... dann; aus ... folgt, dass ...
AB bedeutet: wenn A wahr ist, dann ist B auch wahr; wenn A falsch ist dann ist über B nichts gesagt.
Manchmal wird → statt ⇒ verwendet
x = 2  ⇒  x2 = 4 ist wahr, aber x2 = 4   ⇒  x = 2 ist i.A. falsch (da x = −2 sein könnte)

\Leftrightarrow

&hArr;
Äquivalenz genau dann wenn
A ⇔ B bedeutet: A ist wahr, wenn B wahr ist, und A ist falsch, wenn B falsch ist
x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y

\wedge

&and;
Konjunktion und
AB ist wahr, wenn A und B wahr sind; ansonsten falsch
n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3, wenn n eine natürliche Zahl ist

\vee

&or;
Disjunktion oder
AB ist wahr, wenn A oder B (oder beide) wahr sind; wenn beide falsch sind, ist die Aussage falsch
n ≥ 4 ∨  n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3, wenn n eine natürliche Zahl ist

\dot\vee
Kontravalenz
AB ist wahr, wenn entweder A oder B (aber nicht beide) wahr sind; wenn beide falsch oder beide wahr sind, ist die Aussage falsch
n ≥ 4  ⩒   n ≤ 6  ⇔ n ≠ 4, 5, 6, wenn n eine natürliche Zahl ist

\neg
¬
&not;
Negation nicht
¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist
Wird ein anderer Operator durchgestrichen (/), bedeutet das das gleiche wie wenn man ein ¬ davorsetzt
¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S  ⇔  ¬(x ∈ S)

\forall

&forall;
Allquantor für alle ... gilt
∀ x: P(x) bedeutet: P(x) ist wahr für alle x
∀ n ∈ N: n2 ≥ n

\exists

&exist;
Existenzquantor es gibt ein ..., so dass
∃ x: P(x) bedeutet: Es gibt mindestens ein x, so dass P(x) wahr ist
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
= Gleichung ist gleich
x = y bedeutet: x und y bezeichnen dasselbe.
1 + 2 = 6 − 3

\dot=

&#8784;
Rundung ist gerundet gleich
x ≐ y bedeutet: y ist ein gerundeter Wert von x; y ist dabei keine Zahl, sondern eine Ziffernfolge
, und sind wahr;
, aber
,
\Leftrightarrow
:=, :⇔ Definition ist definiert als
x := y bedeutet: x kann fortan anstatt y geschrieben werden
P :⇔ Q bedeutet: P ist nach der Definition logisch äquivalent zu Q
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

\equiv

&equiv;
logische Äquivalenz, Identität, Kongruenz (Zahlentheorie) ist logisch äquivalent zu, ist identisch mit, ist kongruent
genau dann, wenn eine Tautologie ist.
{ , } Mengenklammern
{a, b, c} bedeutet: die Menge, bestehend aus a, b, und c
N = {0, 1, 2, ...}
, { : }, { | } Mengenbildung die Menge aller ... für die gilt ...
{x : P(x)} bedeutet: die Menge aller x, für die P(x) wahr ist. {x | P(x)} ist das gleiche wie {x : P(x)}.
{n ∈ N : n2 < 20} = {0, 1, 2, 3, 4}
,
\emptyset
∅, {}
&empty;
leere Menge leere Menge
{} bedeutet genauso wie ∅: die Menge ohne Elemente. Die Schreibweise {} wird hauptsächlich an Schulen verwendet.
{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = {}
,
\in \notin
∈, ∉
&isin;, &notin;
Element ist in; ist Element von; ist aus; aus;
a ∈ S bedeutet: a ist ein Element der Menge S; a ∉ S bedeutet: a ist kein Element von S
(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N



\subseteq \subsetneq \subset


Teilmenge ist eine (echte) Teilmenge von
A ⊆ B bedeutet: Jedes Element von A ist auch Element von B
A ⊊ B bedeutet: A ⊆ B aber A ≠ B
A ⊂ B bedeutet (je nach Definition!): 1.) A ⊆ B oder 2.) A ⊊ B
A ∩ BA; Q ⊂ R

\cup
Vereinigungsmenge Vereinigung aus ... und ...; ... vereinigt mit ...
A ∪ B bedeutet: die Menge, die sowohl alle Elemente aus A als auch B enthält, aber sonst keine
A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B

\cap
Schnittmenge Durchschnitt aus ... und ...; ... geschnitten mit ...
A ∩ B bedeutet: Die Menge, die alle Elemente enthält, die in A und B enthalten sind
{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}

\setminus
\ Differenzmenge minus; ohne
A \ B bedeutet: die Menge aller Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind
{1, 2, 3, 4} \ {3, 4, 5, 6} = {1, 2}

\times
× kartesisches Produkt | A Kreuz B
A×B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a∈A und b∈B.
A = {a1, a2}; B = {b1, b2}; A×B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}

\mathcal{P}\left( X \right)
P(X) Potenzmenge Potenzmenge von X
P(X) ist die Potenzmenge von X, also die Menge aller Teilmengen von X.
X = {a, b}; P(X) = {{a, b}, {a}, {b}, {}} = {X, {a}, {b}, ∅}


( )
[ ]
{ }
Funktionsanwendung; Gruppierung von
f(x) bedeutet: Der Wert, den die Funktion f für das Element x liefert
Gruppierung: Operationen innerhalb der Klammer zuerst ausführen
Wenn f(x) := x2, dann ist f(3) = 32 = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, aber 8/(4/2) = 8/2 = 4
[x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner ist als x. Zum Beispiel ist .

\to
Funktionspfeil von ... nach/auf/in
fX → Y bedeutet: Die Funktion f bildet die Menge X auf die Menge Y ab
Wenn f(x) = x2, dann könnte man z.B. fZ → N annehmen

\mapsto
Abbildungspfeil wird abgebildet auf
x ↦ f(x) bedeutet: Das Argument x wird auf f(x) abgebildet.
Wenn f(x) = x2, dann kann man das auch als fx ↦ x2 schreiben.

\mathbb{N}
N oder ℕ
&#8469;
Natürliche Zahlen N
bedeutet: {0, 1, 2, 3, ...},

bedeutet: {1, 2, 3, ...}.
wird je nach Anwendungsfall identisch mit oder definiert. Neuere Literatur nennt 0 eher als natürliche Zahl.

{|a| : a ∈ Z} = N

\mathbb{Z}
Z oder ℤ Ganze Zahlen Z
Z bedeutet: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
{a : |a| ∈ N} = Z

\mathbb{Q}
Q oder ℚ Rationale Zahlen Q
Q bedeutet: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}
3,14 ∈ Q; π ∉ Q

\mathbb{R}
R oder ℝ Reelle Zahlen R
R bedeutet: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, der Grenzwert existiert}
π ∈ R; √(−1) ∉ R

\mathbb{C}
C oder ℂ Komplexe Zahlen
C bedeutet: {a + bi : a,b ∈ R}
i ist eine Zahl, die quadriert -1 ergibt. Die Notation i = √(−1) sollte aber nicht verwendet werden, sie führt zu Problemen.

<
>
Vergleich ist kleiner als, ist größer als
x < y bedeutet: x ist kleiner als y; x > y bedeutet: x ist größer als y
x < y  ⇔  y > x


\le \ge
≤ oder ≦
≥ oder ≧
Vergleich ist kleiner gleich, ist größer gleich
x ≤ y bedeutet: x ist kleiner oder gleich y; x ≥ y bedeutet: x ist größer oder gleich y
x ≥ 1  ⇒  x2 ≥ x

\sqrt{\quad}
Quadratwurzel die Wurzel aus ...
x bedeutet: die nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich x ist.
√(x2) = |x|

\infty
Unendlichkeit unendlich
∞ bedeutet: eine fiktive Zahl, die größer ist als alle reellen Zahlen; sie tritt häufig bei der Bildung von Grenzwerten auf
limx→0 1/|x| = ∞

\pi
π Kreiszahl pi pi
π bedeutet: das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.
A = πr² ist die Fläche eines Kreises mit Radius r
|...| Absolutwert oder Mächtigkeit Absolutwert von ...; Betrag von ...
|x| bedeutet: der Abstand der Zahl x von 0 auf der Zahlengeraden (oder auf der komplexen Zahlenebene)
|A| bedeutet "Mächtigkeit der Menge A". Bei endlichen Mengen ist dies die Anzahl der Elemente in der Menge.
(in der Euklidischen Norm)

\|...\|
||...|| Norm eines Vektors Norm von ...
Die Norm eines Vektors ist eine Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge des Vektors. Sie ist damit eine Funktion ähnlich der Betragsfunktion.

\sum
Summe Summe über ... für ... von ... bis ...

liest man als "Summe über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck bedeutet: a1 + a2 + ... + an
Das Symbol ∑ entspricht dem groß geschriebenen griechischen Buchstaben Sigma.


\prod
Produkt Produkt über ... für ... von ... bis ...

liest man als "Produkt über ak für k von 1 bis n", der Ausdruck bedeutet: a1·a2·...·an
Das Symbol ∏ entspricht dem groß geschriebenen griechischen Buchstaben Pi.


\int dx
Integral Integral (von ... bis ...) über ... d-...

liest man als "Integral von a bis b über f von x dx", der Ausdruck bedeutet: die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f zwischen x = a und x = b
liest man als "Integral über f von x dx", der Ausdruck bezeichnet eine Stammfunktion von f

;


\propto
Proportionalität ... ist proportional zu ...
Gilt („y ist proportional zu x“), so gilt mit einer Konstanten m auch .

\lfloor \rfloor
⌊ ⌋ Abrundungsfunktion
Für eine reelle Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

\lceil \rceil
⌈ ⌉ Aufrundungsfunktion Aufrundung
Für eine reelle Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist.
; ;
\vert
\vert_a
\vert_a^b
| Funktionsauswertung
...
...

Siehe auch

Normen

  • ISO 31-11 Mathematische Zeichen und Symbole
  • DIN 1304-1 Allgemeine Formelzeichen
  • DIN 1302 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  • DIN 1313 Physikalische Größen und Gleichungen
  • DIN 1338 Formelschreibweise

Literatur

  • Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.